Question

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции y=5x³-15x+1

Answer 1

1. y'=(5x³-15x+1)'=15x²-15
2. y'=0, 15x²-15=0. 
 x₁=-1, x₂=1
3. 
y'        +                        -                    +
-----------------(-1)------------------(1)--------------->x
y возраст    max  убывает    min  возраст

4. y(-1)=9, A(-1;9) max
y(1)=-9,     B(1;-9)min

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции \(y = 5x^3 - 15x + 1\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную:

Вычислим производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[y'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 - 15x + 1)\]

\[y'(x) = 15x^2 - 15\]

2. Найти критические точки:

Критические точки функции находятся, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае, уравнение \(y'(x) = 0\) будет:

\[15x^2 - 15 = 0\]

Решим это уравнение:

\[15x^2 = 15\]

\[x^2 = 1\]

\[x = \pm 1\]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = 1\) и \(x = -1\).

3. Определить знак производной в интервалах между критическими точками и за их пределами:

Выберем три интервала: \((- \infty, -1)\), \((-1, 1)\), и \((1, +\infty)\).

- Для интервала \((- \infty, -1)\), возьмем точку \(x = -2\) (меньше -1), подставим в производную:

\[y'(-2) = 15(-2)^2 - 15 = 45 > 0\]

Значит, на этом интервале производная положительна, и функция монотонно возрастает.

- Для интервала \((-1, 1)\), возьмем точку \(x = 0\) (между -1 и 1), подставим в производную:

\[y'(0) = 15(0)^2 - 15 = -15 < 0\]

Значит, на этом интервале производная отрицательна, и функция монотонно убывает.

- Для интервала \((1, +\infty)\), возьмем точку \(x = 2\) (больше 1), подставим в производную:

\[y'(2) = 15(2)^2 - 15 = 45 > 0\]

Значит, на этом интервале производная положительна, и функция монотонно возрастает.

4. Найти экстремумы:

Так как на интервале \((-1, 1)\) производная меняет знак с положительного на отрицательный, то функция имеет локальный максимум в точке \(x = -1\) и локальный минимум в точке \(x = 1\).

Итог:

- Промежутки монотонности: - Убывает на \((- \infty, -1)\) - Возрастает на \((-1, 1)\) - Возрастает на \((1, +\infty)\)

- Экстремумы: - Локальный минимум в точке \((1, 5 \cdot 1^3 - 15 \cdot 1 + 1)\) - Локальный максимум в точке \((-1, 5 \cdot (-1)^3 - 15 \cdot (-1) + 1)\)