Question

Log6 (x+2)+log6 (x-3)=1

Answer 1

(где то так наверное)

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \log_6(x+2) + \log_6(x-3) = 1 \).

Первым шагом используем свойство логарифмов \( \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc) \):

\[ \log_6((x+2)(x-3)) = 1 \]

Теперь преобразуем уравнение, используя определение логарифма:

\[ 6^1 = (x+2)(x-3) \]

Упростим:

\[ 6 = x^2 - 3x + 2x - 6 \]

\[ 6 = x^2 - x - 6 \]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[ x^2 - x - 6 - 6 = 0 \]

\[ x^2 - x - 12 = 0 \]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение. Мы ищем два числа, сумма которых равна коэффициенту \( -1 \) перед \( x \) (из уравнения \( ax^2 + bx + c \)) и произведение которых равно коэффициенту \( -12 \). Эти числа -4 и 3. Теперь мы можем разложить средний член:

\[ x^2 - 4x + 3x - 12 = 0 \]

Группируем:

\[ x(x - 4) + 3(x - 4) = 0 \]

Факторизуем:

\[ (x - 4)(x + 3) = 0 \]

Теперь у нас есть два возможных значения \( x \):

1. \( x - 4 = 0 \) => \( x = 4 \) 2. \( x + 3 = 0 \) => \( x = -3 \)

Однако, при подстановке \( x = -3 \) в исходное уравнение, мы получим логарифм от отрицательного числа, что недопустимо. Таким образом, уравнение имеет единственное допустимое решение: \( x = 4 \).

Answer 3

Для решения уравнения \( \log_6(x+2) + \log_6(x-3) = 1 \), мы можем использовать свойства логарифмов.

Сначала объединим логарифмы с помощью свойства логарифмов, гласящего, что \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)\). Применяя это свойство к уравнению:

\[ \log_6(x+2) + \log_6(x-3) = \log_6((x+2)(x-3)) \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \log_6((x+2)(x-3)) = 1 \]

Далее, используем определение логарифма. Если \( \log_a(b) = c \), то это означает, что \( a^c = b \). Применим это к нашему уравнению:

\[ 6^1 = (x+2)(x-3) \]

\[ 6 = (x+2)(x-3) \]

Раскроем скобки:

\[ 6 = x^2 - 3x + 2x - 6 \]

Сгруппируем похожие члены:

\[ 6 = x^2 - x - 6 \]

Приведем уравнение к квадратному виду:

\[ x^2 - x - 12 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу квадратного корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = -12\). Подставим значения:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \]

\[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \]

Таким образом, получаем два решения:

1. \( x = \frac{1 + 7}{2} = 4 \) 2. \( x = \frac{1 - 7}{2} = -3 \)

Таким образом, уравнение \( \log_6(x+2) + \log_6(x-3) = 1 \) имеет два решения: \( x = 4 \) и \( x = -3 \).