Question

Функция f(x) такова, что для всех x верно 3f(x)+f(-x)=x²+2x.

Answer 1

3f(x)+f(-x)=x^2+2x Тк верно для всех x,то верно и если вместо x подставить -x. 3f(-x)+f(x)=(-x)^2-2*x=x^2-2x Умножим первое уравнение на -3: -9f(x)-3*f(-x)=-3x^2-6x И сложим со вторым: -8*f(x)=-2*x^2-8x f(x)=x^2/4 -x

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение более подробно. У нас есть функция \( f(x) \), и известно, что для всех значений \( x \) выполняется равенство:

\[ 3f(x) + f(-x) = x^2 + 2x \]

Давайте попробуем решить это уравнение.

1. Подстановка \( x = 0 \):

\[ 3f(0) + f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 \]

\[ 4f(0) = 0 \]

Отсюда следует, что \( f(0) = 0 \).

2. Подстановка \( x = 1 \):

\[ 3f(1) + f(-1) = 1^2 + 2 \cdot 1 \]

\[ 3f(1) + f(-1) = 1 + 2 \]

\[ 3f(1) + f(-1) = 3 \]

3. Подстановка \( x = -1 \):

\[ 3f(-1) + f(1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \]

\[ 3f(-1) + f(1) = 1 - 2 \]

\[ 3f(-1) + f(1) = -1 \]

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[ 4f(0) = 0 \] \[ 3f(1) + f(-1) = 3 \] \[ 3f(-1) + f(1) = -1 \]

Из первого уравнения следует, что \( f(0) = 0 \). Подставим это во второе уравнение:

\[ 3f(1) + f(-1) = 3 \]

\[ 3f(1) - 1 = 3 \]

\[ 3f(1) = 4 \]

\[ f(1) = \frac{4}{3} \]

Теперь подставим \( f(0) = 0 \) в третье уравнение:

\[ 3f(-1) + f(1) = -1 \]

\[ 3f(-1) + \frac{4}{3} = -1 \]

\[ 3f(-1) = -\frac{7}{3} \]

\[ f(-1) = -\frac{7}{9} \]

Таким образом, у нас есть значения для \( f(0) \), \( f(1) \) и \( f(-1) \):

\[ f(0) = 0 \] \[ f(1) = \frac{4}{3} \] \[ f(-1) = -\frac{7}{9} \]

Это решение уравнения при данных условиях.