Question

в треугольнике АВС сторона АВ=3 см сторона АС=4 см угол А составляет 60 градусов. найти сторону ВС и площадь тркугольника АВС

Answer 1

Сторону ВС находим с помощью формула  длины через две стороны и угол между ними (по теореме косинусов)
$BC= \sqrt{AC^2+AB^2-2*AC*AB*cosA}=$
$=\sqrt{4^2+3^2-2*4*3* \frac{1}{2}}= \sqrt{13}$ см

ВН - высота, опущенная из вершины В на основание АС
$S= \frac{1}{2}*AC*BH$

$BH=AB*sinA=3* \frac{ \sqrt{3}}{2}= \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ см

$S= \frac{1}{2}* 4* \frac{3 \sqrt{3} }{2}=3\sqrt{3}$ см2

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения стороны треугольника.

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C),\]

где \(c\) - длина стороны напротив угла \(C\) (в данном случае сторона BC), \(a\) и \(b\) - длины двух других сторон (в данном случае стороны AB и AC), \(C\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\) (в данном случае угол A).

Итак, у нас дан треугольник ABC с известными сторонами AB и AC, а также углом A.

\[AB = 3 \ \text{см},\ AC = 4 \ \text{см},\ \angle A = 60^\circ.\]

Мы ищем сторону BC и площадь треугольника ABC.

Находим сторону BC:

Используем теорему косинусов:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A).\]

Подставляем известные значения:

\[BC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ).\]

Решаем уравнение:

\[BC^2 = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13.\]

\[BC = \sqrt{13} \ \text{см}.\]

Находим площадь треугольника ABC:

Мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника по формуле Герона, где \(s\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон:

\[S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}.\]

Полупериметр \(s\) равен:

\[s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 4 + \sqrt{13}}{2}.\]

Подставляем значения в формулу площади:

\[S = \sqrt{\frac{3 + 4 + \sqrt{13}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13} - 3}{2} \cdot \frac{\sqrt{13} - 4}{2} \cdot \frac{3 + 4 + \sqrt{13}}{2}}.\]

Решаем уравнение:

\[S = \sqrt{\frac{4}{2} \cdot \frac{\sqrt{13} - 3}{2} \cdot \frac{\sqrt{13} - 4}{2} \cdot \frac{10 + \sqrt{13}}{2}}.\]

\[S = \sqrt{2 \cdot (\sqrt{13} - 3) \cdot (\sqrt{13} - 4) \cdot (10 + \sqrt{13})}.\]

\[S \approx 6 \ \text{см}^2.\]

Итак, сторона BC равна \(\sqrt{13}\) см, а площадь треугольника ABC приблизительно равна 6 квадратным сантиметрам.