Question

Даны векторы a(2;-2) , b(2;-3) , c(-3;0). Найдите такие числа m и n, чтобы выполнялось векторное равенство c=ma-nb

Answer 1

2m-2n=-3
-2m-(-3)n=0

2m-2n=-3
-2m+3n=0

n=-3

2m-2*(-3)=-3
2m+6=-3
2m=-9
m=-4.5

Answer 2

Векторное уравнение \( \mathbf{c} = m\mathbf{a} - n\mathbf{b} \) означает, что каждая компонента вектора \(\mathbf{c}\) равна соответствующей компоненте линейной комбинации векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) с коэффициентами \(m\) и \(n\) соответственно.

Для данной задачи у нас есть:

\[ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Подставим значения и найдем \(m\) и \(n\):

\[ \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \end{bmatrix} = m \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix} - n \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \]

Это приводит к системе уравнений:

\[ \begin{cases} -3 = 2m - 2n \\ 0 = -2m + 3n \end{cases} \]

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 2 и сложим его с вторым:

\[ \begin{cases} -6 = 4m - 4n \\ 0 = -2m + 3n \end{cases} \]

Теперь сложим оба уравнения:

\[ -6 = 4m - 4n + (-2m + 3n) \]

Упростим:

\[ -6 = 2m - n \]

Теперь выразим \(n\) через \(m\):

\[ n = 2m + 6 \]

Теперь подставим это значение обратно в первое уравнение:

\[ -3 = 2m - 2(2m + 6) \]

Упростим:

\[ -3 = 2m - 4m - 12 \]

\[ 2m = -9 \]

\[ m = -\frac{9}{2} \]

Теперь, зная \(m\), найдем \(n\):

\[ n = 2\left(-\frac{9}{2}\right) + 6 = -9 + 6 = -3 \]

Таким образом, решение системы уравнений \(m\) и \(n\) равны, соответственно, \(-\frac{9}{2}\) и \(-3\).