Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение с параметром!!! При каких значениях n уравнение nx^2 - (4n + 3)x + 5n + 2 = 0 имеет два различных действительных корня.

Answer 1

Nx^2-(4n+3)x+5n+2=0
Старший коэффициент = n
Средний = -(4n+3)
Свободный член = 5n+2
1)Если n=0,то перед нами линейное уравнение:
0*x^2-(4*0+3)x+5*0+2=0
-3x+2=0
-3x=-2
x=2/3
Уравнение имеет один корень при n=0
2) Если n не равно 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня при D>0:
D=(4n+3)^2-4n(5n+2)=16n^2+24n+9-20n^2-8n=
=-4n^2+16n+9;
-4n^2+16n+9>0
4n^2-16n-9<0
4n^2-16n-9=0
D=(-16)^2-4*4*(-9)=400
n1=(16-20)/8=-0,5
n2=(16+20)/8=4,5
4(n+0,5)(n-4,5)<0
_____+_____(-0,5)____-____(4,5)____+_____

Ответ: n e (-0,5;4,5)

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение с параметром. У вас есть квадратное уравнение вида:

\[nx^2 - (4n + 3)x + (5n + 2) = 0.\]

Для того чтобы уравнение имело два различных действительных корня, дискриминант этого уравнения должен быть положительным. Дискриминант вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac,\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае \(a = n\), \(b = -(4n + 3)\), и \(c = 5n + 2\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-(4n + 3))^2 - 4n(5n + 2).\]

Раскроем скобки:

\[D = (16n^2 + 24n + 9) - 20n^2 - 8n.\]

Упростим выражение:

\[D = -4n^2 + 16n + 9.\]

Теперь, чтобы найти условия, при которых уравнение имеет два различных действительных корня, мы должны поставить условие \(D > 0\):

\[-4n^2 + 16n + 9 > 0.\]

Теперь решим это неравенство. Для этого можно использовать метод знаков или раскрыть скобки и решить квадратное уравнение.

\[(-4n + 1)(n - 9) > 0.\]

Теперь найдем интервалы, где это неравенство выполняется:

1. \(n < \frac{1}{4}\) 2. \(\frac{1}{4} < n < 9\) 3. \(n > 9\)

Таким образом, при \(n\) из этих интервалов уравнение \(nx^2 - (4n + 3)x + (5n + 2) = 0\) будет иметь два различных действительных корня.