Question

как найти площаль криволинейной трапеции с помощью интеграла! какую можитеу = х^2 - 1 у=3первая важнее. спасибоможно и эту у = 4х-х^2 у=х у=0

Answer 1

$f(x)_1=y=x^{2}-1, f(x)_2=y =3$

 

Находим первообразные:

$F(x)_1=\frac{x^{3}}{3}-x+C$

$F(x)_2=3x+C$

 

Находим ограничения трапеции, путем приравнивания ф-ий.

$f(x)=y=x^{2}-1=3$

$x^{2}=4$

$x_1=2,\ x_2=-2$

 

Получается интегрирования ф-ии ограничено $xe[-2;2]$

$S=\int\limits^2_2 {F_1(x)-F_2(x)} \, dx =\int\limits^2_2 {\frac{6x-x^{3}}{3}} \, dx =\frac{12-8}{3}-\frac{-12+8}{3}=\frac{8}{3}$ (в интеграле внизу -2, просто чего-т не рисуется)

Ответ: $S=\frac{8}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции между двумя кривыми, вы можете использовать определенный интеграл. Площадь такой трапеции можно найти по формуле:

\[S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \,dx,\]

где \(f(x)\) и \(g(x)\) - уравнения кривых, определяющих верхнюю и нижнюю границы трапеции, а \(a\) и \(b\) - точки пересечения кривых.

В вашем случае даны два уравнения кривых: 1. \(y = x^2 - 1\) (или \(f(x) = x^2 - 1\)) 2. \(y = 3\) (горизонтальная линия, или \(g(x) = 3\))

Также даны уравнения для другой кривой: 1. \(y = 4x - x^2\) (или \(f(x) = 4x - x^2\)) 2. \(y = x\) (или \(g(x) = x\))

Теперь нужно найти точки пересечения кривых, то есть значения \(x\), при которых \(f(x) = g(x)\).

Для первой пары кривых: \[x^2 - 1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.\]

Для второй пары кривых: \[4x - x^2 = x \implies 4x - x^2 - x = 0 \implies x(3 - x) = 0.\]

Отсюда получаем \(x = 0\) и \(x = 3\).

Таким образом, у нас есть два интервала, на которых нужно вычислить интеграл для нахождения площади трапеции: \([-2, 0]\) и \([0, 2]\) для первой пары кривых, а также \([0, 3]\) для второй пары кривых.

Для первой пары кривых: \[S_1 = \int_{-2}^{0} |(x^2 - 1) - 3| \,dx + \int_{0}^{2} |(x^2 - 1) - 3| \,dx.\]

Для второй пары кривых: \[S_2 = \int_{0}^{3} |(4x - x^2) - x| \,dx.\]

Теперь нужно вычислить эти интегралы. Подставьте соответствующие функции и пределы интегрирования и выполните вычисления.