Question

Докажите, что неравенство х^2+2x+2 выполняется при любых значениях Х

Answer 1

X²+2x+2>0
x²+2x+1+1>0
(x²+2x+1)+1>0
Так как (x+1)²≥0  ⇒
(x+1)²+1>0.

Answer 2

Чтобы доказать, что неравенство \(x^2 + 2x + 2\) выполняется для любых значений \(x\), можно воспользоваться методом завершения квадрата (completing the square).

Данное квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c\), где \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = 2\). Чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем половину коэффициента при \(x\) в квадратном члене, т.е., добавим и вычтем \((b/2)^2\).

\[ x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 - 1 + 2 = (x + 1)^2 + 1. \]

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде суммы квадрата и константы. Теперь видно, что квадратный член \((x + 1)^2\) всегда неотрицателен (потому что это квадрат), и мы добавляем к этому числу единицу (\(+1\)). Следовательно, выражение \((x + 1)^2 + 1\) всегда больше или равно 1 для любых значений \(x\), так как квадратный член неотрицателен.

Таким образом, мы доказали, что \(x^2 + 2x + 2 \geq 1\) для любых значений \(x\).