Question

(x^7+x)-(y^7+y) разложить на множители

Answer 1

Перепишем выражение в виде:
(x^7 - y^7) + (x - y).
Тогда:

(x^7 - y^7) + (x - y) =
= (x - y)*(x^6 + x^5*y + x^4*y^2 + x^3*y^3 + x^2*y^4 + x*y^5 + y^6) + (x - y) =
= (x - y)*(x^6 + x^5*y + x^4*y^2 + x^3*y^3 + x^2*y^4 + x*y^5 + y^6 + 1).

Разложение окончено.

Answer 2

Разложение на множители выражения \(x^7 + x - (y^7 + y)\) может быть выполнено с помощью формулы разности кубов и факторизации схожих элементов. Давайте поэтапно разберём это:

1. Начнем с разности кубов:

\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\]

Применяя эту формулу, заметим, что \(x^7 - y^7\) можно представить как разность кубов:

\[x^7 - y^7 = (x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6)\]

2. После этого обратим внимание на члены с \(x\) и \(y\):

\[x - y\]

Этот член уже находится в исходном выражении.

3. Теперь сложим все члены исходного выражения:

\[(x^7 + x) - (y^7 + y) = (x^7 - y^7) + (x - y)\]

Подставляем разность кубов и член \(x - y\):

\[(x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6) + (x - y)\]

4. Сгруппируем общие члены:

\[(x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6 + 1)\]

Итак, исходное выражение \((x^7 + x) - (y^7 + y)\) разложено на множители: \((x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6 + 1)\).