Question

Докожите пожалуйста (n-1)!>2^n когда n≥6

Answer 1

Для n=6 верно.  120  больше 64.
Пусть это верно для n=к. Тогда это верно и для и для к+1
В самом деле, правая часть неравенства умножается на 2,  левая на к т.е. число большее 2.

Answer 2

Чтобы доказать неравенство (n-1)! > 2^n для n ≥ 6, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг базы:

Для базового шага, проверим неравенство для n = 6: (6-1)! = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 2^6 = 64

По сравнению с числом 64, число 120 явно больше. Таким образом, неравенство выполняется для n = 6.

Предположение индукции:

Пусть неравенство выполняется для некоторого фиксированного k ≥ 6, т.е. (k-1)! > 2^k.

Шаг индукции:

Докажем, что неравенство выполняется для k+1. ((k+1)-1)! = k! > 2^k (согласно предположению индукции)

Умножим обе части этого неравенства на (k+1): (k+1)! > 2^k * (k+1)

Теперь давайте рассмотрим правую часть неравенства: 2^k * (k+1) = 2^k + 2^k + 2^k + ... + 2^k (k раз) = 2^k + 2^k + 2^k + ... + 2^k + 2^k (k раз)

Так как k ≥ 6, то каждый слагаемый 2^k больше чем (k-1)! (согласно предположению индукции). Таким образом, мы можем заменить каждый член суммы на (k-1)!:

2^k + 2^k + 2^k + ... + 2^k + 2^k > (k-1)! + (k-1)! + (k-1)! + ... + (k-1)! + (