Question

При каком значении параметра а неравенство a+x^2<=|cosx| имеет единственное решение? Найдите его решение.

Answer 1

По графику видно, что существует только одно a и оно равно 1
Ответ: 1

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство \(a \cdot x^2 \leq | \cos(x) |.\)

Важно отметить, что данное неравенство будет иметь единственное решение, если и только если его график касается оси \(x\) в одной точке. Другими словами, дискриминант квадратного уравнения \(a \cdot x^2 - | \cos(x) | = 0\) должен быть равен нулю.

У нас есть квадратное уравнение \(a \cdot x^2 - | \cos(x) | = 0.\) Его дискриминант определяется по формуле \(D = b^2 - 4ac,\) где у нас \(a = a,\) \(b = 0\) и \(c = - | \cos(x) |.\)

Дискриминант равен: \[D = 0^2 - 4 \cdot a \cdot (- | \cos(x) |) = 4a| \cos(x) |.\]

Теперь, чтобы найти значение параметра \(a\), при котором уравнение имеет единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю: \[4a| \cos(x) | = 0.\]

Так как \(| \cos(x) |\) всегда неотрицательно, то единственный способ, чтобы дискриминант был равен нулю, - это когда \(a = 0.\)

Таким образом, при \(a = 0\) неравенство \(a \cdot x^2 \leq | \cos(x) |\) имеет единственное решение. Однако, следует отметить, что при \(a = 0\) исходное неравенство принимает вид \(0 \leq 0,\) что верно для любого значения \(x\).

Таким образом, единственное решение данного неравенства с параметром \(a\) - это \(x \in \mathbb{R}\), что означает, что для любого значения \(x\) неравенство выполняется при \(a = 0\).