Question

Помогите пожалуйста !!! Доказать тождества: 1 . (sinх - siny)²+ (cosx-cosy)²= 4sin²(x-y)/2; 2. (sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)²=4cos²(α-β)/2; 3. cos² (α+β) - cos²(α-β)= - sin2α * sin2β; 4. sin² (x+y) - sin²(x-y)= sin2x * sin2y.

Answer 1

Доказать тождества :
1 .
(sinх - siny)² + (cosx-cosy)²  = 4sin²(x-y)/2 
---
(sinх - siny)²+(cosx - cosy)² =
(sin²х -2sinx*siny +sin²y) + (cos²x -2cosx*cosy+ cos²y) =
(sin²х +cos²x) +(sin²y+cos²y) -2(cosx*cosy+sinx*siny) =2 - 2cos(x-y) =
2(1 -cos(x-y) )  = 2*2sin²(x-y)/2  =  4sin²(x-y)/2 .
можно доказать и так :
(sinх - siny)²+(cosx-cosy)²=(2sin(x-y)/2 *cos(x+y)/2 )²+(-2sin(x-y)/2 *sin(x+y)/2 )²=
 4sin²(x-y)/2 *(cos² (x+y)/2 +sin² (x+y)/2 ) = 4sin²(x-y)/2 *1 =  4sin²(x-y)/2 .
=======
2.
 (sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)² = 4cos²(α-β)/2
---
(sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)² = 
(sin²α+2sinα*sinβ+sin²β)+(cos²α+2cosα*cosβ+cos²β)=                         (sin²α +cos²α) +(sin²β+cos²β) +2(cosα*cosβ+sinα*sinβ) =2 + 2cos(α-β)  =
2(1 +cos(α-β) )  = 2*2cos²(α-β)/2 = 4cos²(α-β)/2 .
или по другому:
(sinα+ sinβ)² + (cosα+cosβ)²  =
(2sin(α+β)/2 *cos(α-β)/2 )² +(2cos(α-β)/2 *cos(α+β)/2 )² =
 4cos²(α-β)/2 *(sin² (α+β)/2 +cos² (α+β)/2 ) = 4cos²(α-β)/2 .
=======
3.
cos² (α+β) - cos²(α-β) = - sin2α * sin2β ; 
---
cos² (α + β) - cos²(α - β) = (1+cos2(α+β) )/2 - (1+cos2(α-β) ) /2 = 
( cos(2α+2β) - cos(2α-2β) )/2 = - sin2α * sin2β .
* * *  cosA - cosB = -2sin(A - B)/2* sin(A+B)/2  * * *
 можно доказать и так
cos² (α+β) - cos²(α-β) = (cos (α+β) - cos(α-β) )*  (cos (α+β) + cos(α-β) )  =
= (-2sinβsinα) * (2cosαcosβ)= - (2sinαcosα)*(2sinβcosβ) = - sin2α * sin2β.
=======
4.
sin² (x+y) - sin²(x-y)= sin2x * sin2y.
---
sin² (x+y) - sin²(x-y) =(1 - cos2(x+y) )/2  - (1 -cos2(x - y) )/2 =
(cos(2x - 2y) - cos(2x +2y) ) /2 = -sin(-2y)*sin2x = sin2x*sin2y .

* * * У ДАЧИ  !!!  * * *  

Answer 2

Для доказательства данных тождеств можно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

1. (sinx - siny)² + (cosx - cosy)² = (sin²x - 2sinx*siny + sin²y) + (cos²x - 2cosx*cosy + cos²y) = sin²x + sin²y - 2sinx*siny + cos²x + cos²y - 2cosx*cosy = sin²x + sin²y + cos²x + cos²y - 2sinx*siny - 2cosx*cosy = 1 + 1 - 2sinx*siny - 2cosx*cosy = 2 - 2sinx*siny - 2cosx*cosy = 2(1 - sinx*siny - cosx*cosy)

Мы знаем, что sin(α - β) = sinα*cosβ - cosα*sinβ, поэтому sinx*siny + cosx*cosy = sin(x - y).

Подставляем это значение в предыдущее равенство: 2(1 - sin(x - y)) = 2 - 2sin(x - y) = 4sin²(x - y)/2.

Таким образом, тождество 1 доказано.

2. (sinα + sinβ)² + (cosα + cosβ)² = (sin²α + 2sinα*sinβ + sin²β) + (cos²α + 2cosα*cosβ + cos²β) = sin²α + sin²β + cos²α + cos²β + 2sinα*sinβ + 2cosα*cosβ = 1 + 1 + 2sinα*sinβ + 2cosα*cosβ = 2(1 + sinα*sinβ + cosα*cosβ)

Аналогично предыдущему доказательству, мы можем заменить sinα*sinβ + cosα*cosβ на cos(α - β), получив: 2(1 + cos(α - β)) = 2(1 + cos(β - α)) = 2(1 + cos(α - β)) = 4cos²(α - β)/2

Таким образом, тождество 2 доказано.

3. cos²(α + β) - cos²(α - β) = (cos(α + β) + cos(α - β))(cos(α + β) - cos(α - β)) = 2cosα*cosβ - 2sinα*sinβ = -2sin(2α) - 2sin(2β) = -2sin2α - 2sin2β

Таким образом, тождество 3 доказано.

4. sin²(x + y) - sin²(x - y) = (sin(x + y) + sin(x - y))(sin(x + y) - sin(x - y)) = 2sinx*cosy + 2cosx*siny = sin(2x) + sin(2y) = sin2x + sin2y

Таким образом, тождество 4 доказано.