Question

(sinx+sin3x+sin5x)/(cosx+cos3x+cos5x) + 2tgx=0 Решить уравнение

Answer 1

Раскладываем на множители sin+sin3x+sin5x
sinx+sin3x+sin5x=sinx+sin(x+2x)+sin(3x+2x)=sinx+sinx*cos2x+cosx*sin2x+sin3x*cos2x+cos3x*sin2x=sinx+sinx*cos2x+2sinx*cos^2x+sin(2x+x)*cos2x+cos(x+2x)*sin2x=sinx+sinx*cos2x+2sinx*cos^2x+(2sinx*cos^2x+cos2x*sinx)*cos2x+(cosx*cos2x-sinx*sin2x)*2sinx*cosx=sinx(1+cos2x+2cos^2x+(2cos^2x+cos2x)*cos2x+2cosx*(cosx*cos2x-sinx*sin2x))=sinx(1+cos2x+2cos^2x+cos^2(2x)+2cos^2x*cos2x+2cos^2x*cos2x-4sin^2x*cos^2x)=sinx(1+cos2x+2cos^2x+cos^2(2x)+4cos^2x*cos2x-sin^2(2x))=sinx(2cos^2(2x)+cos2x+2cos^2x+4cos^2x*cos2x)=sinx(2cos^2(2x)+cos2x+1+cos2x+4cos^2x*cos2x)=sinx(2cos^2(2x)+2cos(2x)+2(1+cos2x)*cos2x+1)=sinx(2cos^2(2x)+2cos2x+2cos2x+2cos^2(2x)+1)=sinx(4cos^2(2x)+4cos(2x)+1)=sinx*(2cos(2x)+1)^2

теперь раскладываем cosx+cos3x+cos5x
cosx+cos3x+cos5x=cosx+cos(2x+x)+cos(2x+3x)=cosx+cos2x*cosx-sin2x*sinx+cos2x*cos3x-sin2x*sin3x=cosx+cos2x*cosx-2sin^2x*cosx+cos2x*cos(x+2x)-2sinx*cosx*sin(x+2x)=cosx+cos2x*cosx-2sin^2x*cosx+cos2x*(cosx*cos2x-2sin^2x*cosx)-2sinx*cosx*sin(x+2x)=cosx(1+cos2x-2sin^2x+cos^2(2x)-2sin^2x*cos2x-2sinx*(sinx*cos2x+cosx*sin2x))=cosx(2cos2x+cos^2(2x)-2sin^2x*cos2x-2sin^2x*cos2x-4sin^2x*cos^2x)=cosx(2cos2x+cos^2(2x)-4sin^2x*cos2x-4sin^2x*cos^2x)=cosx(2cos2x+cos^2(2x)-2(1-cos2x)*cos2x-sin^2(2x))=cosx(2cos2x+cos^2(2x)-sin^2(2x)-2cos2x+2cos^2(2x))=cosx(2cos^2(2x)-1+2cos2x-2cos2x+2cos^2(2x))=cosx(4cos^2(2x)-1)=cosx(2cos2x-1)(2cos2x+1)
подставляем в уравнение:
$\frac{sinx*(2cos(2x)+1)^2}{cosx*(2cos2x-1)(2cos2x+1)}+2tgx=0 \\tgx* \frac{(2cos(2x)+1)^2}{(2cos2x-1)(2cos2x+1)} +2tgx=0 \\tgx(\frac{(2cos(2x)+1)^2}{(2cos2x-1)(2cos2x+1)} +2)=0 \\tgx=0 \\x_1=\pi n \\\frac{(2cos2x+1)^2}{(2cos2x-1)(2cos2x+1)} +2=0 \\ \frac{2cos2x+1}{2cos2x-1} +2=0 \\ \frac{2cos2x+1+4cos2x-2}{2cos2x+1} =0 \\2cos2x+1 \neq 0 \\cos2x \neq -\frac{1}{2} \\2cos2x+1+4cos2x-2=0 \\6cos2x=1 \\cos2x= \frac{1}{6} \\2x=arccos( \frac{1}{6} )+2\pi n \\x_2=0,5*arccos(\frac{1}{6})+\pi n$
$2x=-arccos( \frac{1}{6} )+2\pi n \\x_3=-0,5*arccos(\frac{1}{6})+\pi n$
Ответ: $x_1=\pi n;\ x_2=0,5*arccos(\frac{1}{6})+\pi n;\ x_3=-0,5*arccos(\frac{1}{6})+\pi n$

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, необходимо привести его к виду, где слева будет только одна функция от x без дроби, а справа будет только 0.

Начнем с выражения (sinx+sin3x+sin5x)/(cosx+cos3x+cos5x). Найдем общий знаменатель и приведем его к общему делителю cosx: sinx + sin3x + sin5x = (sinx·cos3x + cosx·sin3x) + sin5x = sin(x+3x) + sin5x = sin4x + sin5x

cosx + cos3x + cos5x = (cosx·cos3x + sinx·sin3x) + cos5x = cos(x+3x) + cos5x = cos4x + cos5x

Теперь мы можем преобразовать наше уравнение: (sin4x + sin5x) / (cos4x + cos5x) + 2tgx = 0

Установим общий знаменатель в числителе: (sin4x + sin5x + 2tgx·cos4x + 2tgx·cos5x) / (cos4x + cos5x) = 0

Преобразуем выражение в числителе с помощью формулы сложения синуса: (2sin((4x + 5x)/2)cos((4x - 5x)/2) + 2tgx(cos4x + cos5x)) / (cos4x + cos5x) = 0

Получаем: (2sin(9x/2)cos(-x/2) + 2tgx(cos4x + cos5x)) / (cos4x + cos5x) = 0

Применим формулу тангенса: (2sin(9x/2)cos(-x/2) + 2sinx/cosx(cos4x + cos5x)) / (cos4x + cos5x) = 0

Сократим дробь на (cos4x + cos5x): 2sin(9x/2)cos(-x/2) + 2sinx/cosx = 0

Умножим обе части уравнения на cosx, чтобы избавиться от дроби: 2sin(9x/2)cos(-x/2)cosx + 2sinx = 0

Применим формулу произведения синуса и косинуса: sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Получим: sin(9x/2 - x/2) + sin(9x/2 + x/2) = 0

Упростим: sin(4x) + sin(5x) = 0

Теперь решим это уравнение: sin(4x) + sin(5x) = 0

Сменим sin(5x) на sin(4x + x): sin(4x) + sin(4x + x) = 0

По формуле синуса суммы: sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Получим: sin(4x) + sin(4x)cos(x) + cos(4x)sin(x) = 0

Сгруппируем слагаемые синуса в одно: 2sin(4x)cos(x) + cos(4x)sin(x) = 0

Упростим: sin(x)(2sin(4x) + cos(4x)) = 0

Получаем два уравнения: sin(x) = 0 или 2sin(4x) + cos(4x) = 0

1) sin(x) = 0 x = nπ, где n - целое число

2) 2sin(4x) + cos(4x) = 0

Решим уравнение 2sin(4x) + cos(4x) = 0: Можно воспользоваться методом подстановки или формулой тангенса полусуммы: tg(x/2) = (sin(x))/(1+cos(x))

Получаем: 2tg(2x) + 1 = 0

tg(2x) = -1/2

Решить это уравнение можно, найдя значения 2x, при которых тангенс равен -1/2. В области показания тангенса [-1, 1] это происходит при x = 7π/12 + πn, где n - целое число.

Учитывая, что x = 2x/2, получаем: x = 7π/24 + πn

Таким образом, получили два решения уравнения 2sin(4x) + cos(4x) = 0: x = nπ, где n - целое число x = 7π/24 + πn, где n - целое число

Итак, решением исходного уравнения (sinx+sin3x+sin5x)/(cosx+cos3x+cos5x) + 2tgx = 0 являются: x = nπ, где n - целое число x = 7π/24 + πn, где n - целое число.