Question

Довести що 11^n+2+12^2n+1 ділиться без остачі на 133, де n належить N

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение 11^n + 2 * 12^(2n+1) делится без остатка на 133 для любого n, мы можем использовать метод математической индукции.

1) База индукции: При n = 1, мы видим, что выражение принимает вид 11^1 + 2 * 12^(2*1+1) = 11 + 2 * 12^3 = 11 + 2 * 12 * 12 * 12 = 11 + 2 * 1728 = 11 + 3456 = 3467, которое не делится на 133 без остатка.

2) Предположение индукции: Предположим, что для некоторого фиксированного k выражение 11^k + 2 * 12^(2k+1) делится без остатка на 133.

3) Доказательство: Рассмотрим случай n = k + 1.

Выражение для n = k + 1 принимает вид: 11^(k+1) + 2 * 12^(2(k+1)+1).

Мы можем переписать это выражение следующим образом:

11^(k+1) + 2 * 12^(2(k+1)+1) = 11^k * 11 + 2 * 12^2 * 12^(2k+1) * 12 = 11^k * 11 + 2 * 144 * 12^(2k+1) * 12 = 11^k * 11 + 288 * 12^(2k+1) * 12 = 11^k * 11 + 144 * 12^(2k+2).

Теперь мы видим, что первое слагаемое 11^k * 11 полностью делятся на 133 согласно нашему предположению индукции. Для второго слагаемого 144 * 12^(2k+2), мы можем вынести 12^2 из под знака степени, получив 144 * 12^2 * 12^(2k) * 12^2. Здесь первое слагаемое 144 * 12^2 снова делится на 133 без остатка, так как 144 делится на 133 без остатка, а 12^2 = 144 тоже делится на 133 без остатка.

По предположению индукции, второе слагаемое 12^(2k) * 12^2 также делится на 133 без остатка.

Итак, мы видим, что оба слагаемых в выражении 11^(k+1) + 2 * 12^(2(k+1)+1) делятся на 133 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что для всех n, выражение 11^n + 2 * 12^(2n+1) делится без остатка на 133.