Question

Найдите значения k, при которых имеет один корень уравнение (k-1)x^2+(k+4)x+k+7=0

Answer 1

$\\(k+4)^2-4(k-1)(k+7)=0 \ \vee \ k-1=0\implies k=1 \\k^2+8k+16-4k^2-28k+4k+28=0 \\-3k^2-16k+44=0 \\\Delta=16^2+4*3*44=256+528=784 \\\sqrt\Delta=28 \\k=\frac{16-28}{2*(-3)}=2 \ \vee \ k=\frac{16+28}{-6}=-\frac{22}{3}=-7\frac13 \\k\in\{-7\frac13, \ 1, \ 2\}$

Answer 2

Для того чтобы найти значения k, при которых уравнение $(k-1)x^2+(k+4)x+k+7=0$ имеет один корень, мы можем использовать дискриминант. Дискриминант - это выражение, которое находится под знаком радикала в формуле для нахождения корней квадратного уравнения.

Для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Если уравнение имеет один корень, то дискриминант должен быть равен нулю.

В данном случае, у нас дано уравнение $(k-1)x^2+(k+4)x+k+7=0$, поэтому a = k-1, b = k+4 и c = k+7.

Подставляя значения a, b и c в формулу для дискриминанта, мы получаем:

$D = (k+4)^2 - 4(k-1)(k+7)$

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

$D = k^2 + 8k + 16 - 4(k^2 + 6k - 7)$

$D = k^2 + 8k + 16 - 4k^2 - 24k + 28$

$D = -3k^2 - 16k + 44$

Теперь мы можем приравнять дискриминант к нулю и решить полученное квадратное уравнение:

$-3k^2 - 16k + 44 = 0$

После решения этого уравнения, мы найдем значения k, при которых исходное уравнение имеет один корень.

Answer 3

Для того, чтобы уравнение (k-1)x^2+(k+4)x+k+7=0 имело один корень, необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения. В данном случае a = k-1, b = k+4 и c = k+7. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

D = (k+4)^2 - 4(k-1)(k+7) = k^2 + 8k + 16 - 4k^2 - 28k - 4k - 28 = -3k^2 - 24k - 12.

Приравнивая дискриминант к нулю, получаем квадратное уравнение относительно k:

-3k^2 - 24k - 12 = 0.

Решая это уравнение, можно найти значения k, при которых исходное уравнение имеет один корень. Для этого можно воспользоваться онлайн калькулятором или решить уравнение самостоятельно, используя формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a),

где D - дискриминант уравнения, а a и b - его коэффициенты. В данном случае a = -3, b = -24 и D = (-24)^2 - 4(-3)(-12) = 576 - 144 = 432. Тогда

k = (-(-24) ± √432) / (2(-3)) = (24 ± 12√3) / (-6) = -4 ± 2√3.

Следовательно, уравнение (k-1)x^2+(k+4)x+k+7=0 имеет один корень при k = -4 + 2√3 или k = -4 - 2√3.

Если вас интересуют другие типы задач с параметрами, вы можете посмотреть примеры и решения на сайте [Алые паруса](https://nsportal.ru/ap/nauchno-tehnicheskoe-tvorchestvo/library/2021/11/14/metody-resheniya-zadach-s-parametrami) или на сайте [Школково](https://2.shkolkovo.online/catalog/136?SubjectId=1), где собраны задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет.