Question

Y=8+2x^2-x^4 Надо найти точки экстремума и определить ее характер! Сделайте примерный график пожалуйста!!

Answer 1

Вроде так если вы это учите

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 8 + 2x^2 - x^4 \) нужно найти её производные и приравнять их к нулю. После этого провести исследование на экстремумы.

1. Найдем производные: - Первая производная: \( y' = 4x^3 - 4x \) - Вторая производная: \( y'' = 12x^2 - 4 \)

2. Приравняем первую производную к нулю и найдем критические точки: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ x(x^2 - 1) = 0 \] Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = \pm 1 \).

3. Найдем вторую производную в критических точках: - Для \( x = -1, \) \( y''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0 \) (минимум). - Для \( x = 0, \) \( y''(0) = -4 < 0 \) (максимум). - Для \( x = 1, \) \( y''(1) = 8 > 0 \) (минимум).

4. Теперь найдем значения функции в найденных точках: - Для \( x = -1, \) \( y(-1) = 8 + 2(-1)^2 - (-1)^4 = 10 \). - Для \( x = 0, \) \( y(0) = 8 + 2(0)^2 - (0)^4 = 8 \). - Для \( x = 1, \) \( y(1) = 8 + 2(1)^2 - (1)^4 = 9 \).

Таким образом, у функции есть две точки экстремума: \( (0, 8) \) (максимум) и \( (-1, 10) \) (минимум). Теперь построим примерный график:

  12  |                          .
      |                         .
  10  |                        .
      |                       .
   8  |                   .  
      |                 .
   6  |               .
      |             .
   4  |           .
      |        . (0,8)
   2  |      .
      |    .
   0  | .
      | 
     -----------------------
     -2    -1    0    1    2

На графике отмечены точки максимума (0,8) и минимума (-1,10). Также можно заметить, что график симметричен относительно оси y (ось ординат), что соответствует четности функции \( y = 8 + 2x^2 - x^4 \).