Question

Знайдіть проміжки спадання функції f(x)= 1/3 x^3-x^2-8x+5

Answer 1

Знаходимо екстремальні точки функції:
(1/3х³ - х² - 8х + 5)' = х² - 2х - 8
х² - 2х - 8 = 0
х1 = 4; х2 = -2
Розглянемо значення похідної на проміжках:
(-∞; -2); (-2;4); (4; +∞)
(-∞; -2): (-3)² + 6 - 8 > 0, функція зростає
(-2;4) : 0 - 0 - 8 < 0, функція спадає
(4; +∞) : 5² - 10 - 8 > 0, функція зростає
Відповідь: (-2;4)

Answer 2

Для знаходження проміжків спадання функції f(x) = (1/3)x^3 - x^2 - 8x + 5, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції і визначити, де вона менша за нуль.

Знаходження похідної

Для знаходження похідної, використаємо правила диференціювання. Похідна від кожного члена суми буде рівна похідній від цього члена. Тому похідна функції f(x) буде рівна:

f'(x) = (1/3)(3x^2) - 2x - 8

Знаходження критичних точок

Далі, розв'яжемо рівняння f'(x) = 0 для знаходження критичних точок функції. Знайдемо значення x, при яких похідна дорівнює нулю:

(1/3)(3x^2) - 2x - 8 = 0

Помножимо обидві частини на 3, щоб позбутися від знаменника:

x^2 - 6x - 24 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою факторизації або за допомогою квадратного кореня. Розв'яжемо його за допомогою факторизації:

(x - 8)(x + 3) = 0

Отже, ми маємо дві критичні точки: x = 8 і x = -3.

Знаходження проміжків спадання

Тепер, щоб визначити проміжки спадання функції, потрібно проаналізувати поведінку похідної навколо критичних точок.

# Проміжок спадання: (-∞, -3)

Підставимо значення x = -4 до похідної функції f'(x):

f'(-4) = (1/3)(3(-4)^2) - 2(-4) - 8 = 0 + 8 - 8 = 0

Якщо похідна функції дорівнює нулю, це означає, що функція втрачає свою спадну характеристику і починає зростати. Таким чином, функція f(x) спадає на проміжку (-∞, -3).

# Проміжок спадання: (-3, 8)

Підставимо значення x = 0 до похідної функції f'(x):

f'(0) = (1/3)(3(0)^2) - 2(0) - 8 = 0 - 0 - 8 = -8

Так як результат від'ємний, це означає, що функція f(x) спадає на проміжку (-3, 8).

# Проміжок спадання: (8, ∞)

Підставимо значення x = 9 до похідної функції f'(x):

f'(9) = (1/3)(3(9)^2) - 2(9) - 8 = 9 - 18 - 8 = -17

Так як результат від'ємний, це означає, що функція f(x) спадає на проміжку (8, ∞).

Висновок

Таким чином, функція f(x) = (1/3)x^3 - x^2 - 8x + 5 спадає на проміжках (-∞, -3), (-3, 8) і (8, ∞).