Question

Обчисліть похідну в точці x0 f(x)=2x^2-4√x, x0=4

Answer 1

$f'(x)=2*2*x-4* \frac{1}{2 \sqrt{x} } =4x- \frac{2}{ \sqrt{x} }$
$f'(4)=4*4- \frac{2}{ \sqrt{4} } =16-1=15$

Answer 2

Щоб обчислити похідну функції f(x) = 2x^2 - 4√x в точці x0 = 4, ми можемо скористатися правилом диференціювання.

Правило диференціювання степеневої функції

Для функції f(x) = x^n, де n є будь-яким числом (цілим або дійсним), похідна може бути обчислена за допомогою наступного правила:

f'(x) = n * x^(n-1)

Обчислення похідної для першого доданка

Спочатку обчислимо похідну для першого доданка f1(x) = 2x^2.

Використовуючи правило диференціювання степеневої функції, отримаємо:

f1'(x) = 2 * 2x^(2-1) = 4x

Обчислення похідної для другого доданка

Тепер обчислимо похідну для другого доданка f2(x) = -4√x.

Зауважте, що корінь можна записати у вигляді показника степеня: √x = x^(1/2).

Використовуючи правило диференціювання степеневої функції, отримаємо:

f2'(x) = -4 * (1/2) * x^((1/2)-1) = -2x^(-1/2) = -2/√x

Обчислення похідної для всієї функції

Тепер, коли у нас є похідні для обох доданків, ми можемо обчислити похідну для всієї функції f(x) = 2x^2 - 4√x, додавши похідні доданків:

f'(x) = f1'(x) + f2'(x) = 4x - 2/√x

Обчислення похідної в точці x0 = 4

Щоб обчислити значення похідної в точці x0 = 4, підставимо x = 4 в отриману похідну:

f'(4) = 4(4) - 2/√4 = 16 - 2/2 = 16 - 1 = 15

Таким чином, похідна функції f(x) = 2x^2 - 4√x в точці x0 = 4 дорівнює 15.