Question

Найдите точки максимума функции f(x)=x^4-4x^2

Answer 1

F(x)=x⁴-4x²
f' '(x)=4x³-8x
f '(x)=0
4x³-8x=0
4x(x²-2)=0
x=0;x=√2;x=-√2

____-___-√2___+__0___-___√2___+___
убыв             возр      убыв       возр
Точка максимума 0

Answer 2

Для нахождения точек максимума функции f(x) = x^4 - 4x^2 нам необходимо найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Такие значения x называются критическими точками. Давайте найдем производную функции и приравняем ее к нулю для нахождения критических точек.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции f(x) = x^4 - 4x^2, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции. Правило гласит, что производная функции x^n, где n - произвольное вещественное число, равна n * x^(n-1).

Применяя это правило к нашей функции, получим:

f'(x) = 4x^3 - 8x

Нахождение критических точек

Теперь приравняем производную f'(x) к нулю и решим полученное уравнение:

4x^3 - 8x = 0

Мы можем вынести общий множитель x из левой части уравнения:

x(4x^2 - 8) = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

x = 0

и

4x^2 - 8 = 0

Первое уравнение дает нам одну критическую точку x = 0.

Решим второе уравнение:

4x^2 - 8 = 0

x^2 - 2 = 0

(x + √2)(x - √2) = 0

Отсюда получаем две дополнительные критические точки:

x = √2 и x = -√2

Определение типа точек

Теперь, когда у нас есть критические точки, давайте определим их тип. Для этого мы можем использовать вторую производную тест или анализ знаков первой производной.

Вторая производная

Для нахождения второй производной функции f(x), мы должны снова продифференцировать производную f'(x):

f''(x) = 12x^2 - 8

Вторая производная тест

Теперь, чтобы определить тип каждой критической точки, мы можем использовать вторую производную тест. Если f''(x) > 0, то это точка минимума. Если f''(x) < 0, то это точка максимума. Если f''(x) = 0, то тест не дает определенного результата.

Подставим значения критических точек во вторую производную:

f''(0) = 12(0)^2 - 8 = -8

f''(√2) = 12(√2)^2 - 8 = 16 - 8 = 8

f''(-√2) = 12(-√2)^2 - 8 = 16 - 8 = 8

Определение типа точек

Итак, мы получили следующие результаты:

- x = 0: f''(0) = -8, это точка максимума. - x = √2: f''(√2) = 8, это точка минимума. - x = -√2: f''(-√2) = 8, это точка минимума.

Ответ

Таким образом, функция f(x) = x^4 - 4x^2 имеет точку максимума в x = 0 и точки минимума в x = √2 и x = -√2.