Question

сумма первого и второго членов геометрической прогрессии на 35 больше суммы второго и третьего ее членов , равной 105. найдите первый член и знаминатель этой прогрессии.

Answer 1

b2+b3=105,

(b1+b2)-(b2+b3)=35, b1+b2=140,

b2=b1q, b3=b1q^2,

b1q+b1q^2=105,

b1+b1q=140,

b(1+q)=140, b1=140/(1+q),

b1q(1+q)=105, 140/(1+q) *q(1+q)=105, 140q=105, q=3/4,

b1=140/(1+3/4)=80.

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как \(a\), а знаменатель как \(q\). Тогда второй член будет равен \(aq\), а третий член \(aq^2\).

Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии: \[a + aq\]

Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии: \[aq + aq^2\]

По условию задачи, сумма первого и второго членов на 35 больше суммы второго и третьего членов: \[a + aq = aq + aq^2 + 35\]

Теперь приведем уравнение к виду квадратного уравнения и решим его:

\[aq^2 + aq - a - 35 = 0\]

Так как это квадратное уравнение, его можно решить с использованием квадратного корня или факторизации.

Полученное уравнение можно факторизовать следующим образом: \[a(q - 5)(q + 7) = 0\]

Таким образом, у нас два возможных значения для \(q\): \[q_1 = 5\] \[q_2 = -7\]

Так как знаменатель геометрической прогрессии не может быть отрицательным, то \(q = 5\).

Теперь найдем первый член (\(a\)). Подставим \(q = 5\) в исходное уравнение: \[a + 5a = 5a + 25 + 35\]

\[a = 60\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 60, а знаменатель равен 5.