Question

Дано: f(x)=a*sin2x+b*cosx, f '(pi/6)=2, f '=(9*pi/2)=-4. Чему равны a и b? Ответ должен получиться а=2, b=0

Answer 1

f'(x)=2acos2x-bsinx

при х=пи/6=30: f(30)=2a*1/2-b*1/2=-4

при х=9пи/2 (а если посмотреть по окружности то значение 9пи/2 совпадает со значением в точке пи): f(180)=-2a-0=2

решая эти два простых уравнения действительно получается, что а=2, b=0

Answer 2

Для решения этой задачи, мы будем использовать данные условия и применять их к функции f(x) = a*sin(2x) + b*cos(x) и ее производной f'(x).

Нахождение производной функции f(x)

Для начала, найдем производную функции f(x). Для этого мы применим правила дифференцирования для синуса и косинуса:

f'(x) = d/dx(a*sin(2x) + b*cos(x)) = a*d/dx(sin(2x)) + b*d/dx(cos(x))

Продифференцируем каждый терм по отдельности:

d/dx(sin(2x)) = 2*cos(2x) d/dx(cos(x)) = -sin(x)

Подставим эти значения обратно в нашу производную:

f'(x) = a*(2*cos(2x)) + b*(-sin(x)) = 2a*cos(2x) - b*sin(x)

Подстановка значений производной

Теперь, у нас есть два условия на производную функции f'(x). Подставим значения pi/6 и 9*pi/2 в f'(x) и приравняем их к данным значениям:

f'(pi/6) = 2: 2a*cos(2*(pi/6)) - b*sin(pi/6) = 2

f'(9*pi/2) = -4: 2a*cos(2*(9*pi/2)) - b*sin(9*pi/2) = -4

Решение системы уравнений

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a и b. Подставим значения cos(pi/6) = sqrt(3)/2 и sin(pi/6) = 1/2:

2a*cos(2*(pi/6)) - b*sin(pi/6) = 2 2a*(sqrt(3)/2) - b*(1/2) = 2

2a*cos(2*(9*pi/2)) - b*sin(9*pi/2) = -4 2a*cos(9*pi) - b*sin(9*pi/2) = -4

Решение системы уравнений

Упростим уравнения:

a*sqrt(3) - b/2 = 2 2a*cos(9*pi) + b*sin(9*pi/2) = -4

Так как cos(9*pi) = cos(pi) = -1 и sin(9*pi/2) = sin(4*pi) = 0, уравнение упрощается:

a*sqrt(3) - b/2 = 2 -2a + 0 = -4

Второе уравнение даёт нам значение a:

-2a = -4 a = 2

Подстановка значения a для нахождения b

Теперь, подставим значение a = 2 в первое уравнение:

2*sqrt(3) - b/2 = 2

Умножим оба выражения на 2, чтобы избавиться от дроби:

4*sqrt(3) - b = 4

Выразим b:

b = 4*sqrt(3) - 4

Ответ

Таким образом, мы получили значения a = 2 и b = 4*sqrt(3) - 4.