Question

Решите уравнение 4cos в квадрате 3 x=1

Answer 1

Если такое уравнение-  
4⋅cos `2(3⋅x) = 1 то четыре ответа

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

\[4\cos^2(3x) = 1.\]

Сначала приведем уравнение к более привычному виду. Используем тригонометрическую тождественность \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\):

\[4\cos^2(3x) - 1 = 0.\]

Теперь заметим, что данное уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно \(\cos(3x)\). Обозначим \(\cos(3x)\) за \(y\):

\[4y^2 - 1 = 0.\]

Решим это квадратное уравнение:

\[y^2 = \frac{1}{4}.\]

Отсюда получаем два значения \(y\):

\[y = \frac{1}{2}\] или \[y = -\frac{1}{2}.\]

Теперь подставим \(y = \cos(3x)\) обратно:

1. Для \(y = \frac{1}{2}\):

\[\cos(3x) = \frac{1}{2}.\]

Решения этого уравнения можно найти, например, используя значения углов, для которых \(\cos(\theta) = \frac{1}{2}\). Такие углы это, например, \(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\) и \(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

2. Для \(y = -\frac{1}{2}\):

\[\cos(3x) = -\frac{1}{2}.\]

Аналогично, можно воспользоваться значениями углов, для которых \(\cos(\theta) = -\frac{1}{2}\). Такие углы это, например, \(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\) и \(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Таким образом, у уравнения \(4\cos^2(3x) = 1\) есть бесконечное множество решений, и они выражаются в виде:

\[3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad \frac{5\pi}{3} + 2\pi n,\] \[3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad \frac{4\pi}{3} + 2\pi n,\]

где \(n\) - целое число. Для получения конечных значений \(x\), нужно поделить каждое из этих решений на 3:

\[x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, \quad \frac{5\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3},\] \[x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, \quad \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}.\]