Question

Решите неравенство:2х-5/х^2-6x-7<=1/х-3

Answer 1

(2х-5)/(х²-6х-7)-1/(х-3)≤0
((2х-5)(х-3)-(х²-6х-7))/(х²-6х-7)(х-3)≤0
(2х²-6х-5х+15-х²+6х+7)/(х²-6х-7)(х-3)≤0
(х²-5х+22)/(х+1)(х-7)(х-3)≤0
х²-6х-7=(х+1)(х-7)
х1+х2=6 и х1*х2=-7⇒х1=-1 и х2=7
х²-5х+22>0 при любом ч, т.к. D<0
             _                    +                    _                  +
_________________________________________________
                       -1                      3                      7
x∈(-≈;-1) U (3;7)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны учесть два важных момента. Во-первых, мы должны исключить значения переменной x, для которых знаменатель равен нулю. В данном случае, знаменатель равен (х^2 - 6х - 7) и мы должны исключить значения, при которых этот знаменатель равен нулю. Решим уравнение х^2 - 6х - 7 = 0, чтобы найти такие значения.

Решение уравнения х^2 - 6х - 7 = 0:

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение. В данном случае, мы воспользуемся квадратным уравнением.

1. Для начала, у нас есть уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -6 и c = -7. 2. Используя формулу дискриминанта, мы можем найти его значение: D = b^2 - 4ac. В нашем случае, D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64. 3. Затем мы можем найти значения x с помощью формулы квадратного корня: x = (-b ± √D) / (2a). Подставляя значения, у нас получается два решения: x = (6 ± √64) / 2. Упрощая, мы получаем: x = (6 ± 8) / 2. 4. Разделяя на два случая, мы получаем два решения: a) x = (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7. б) x = (6 - 8) / 2 = -2 / 2 = -1.

Таким образом, мы исключаем значения x = 7 и x = -1 из исходного неравенства, так как они делают знаменатель равным нулю.

Решение неравенства:

Теперь, когда мы исключили значения x = 7 и x = -1, мы можем продолжить решение неравенства.

1. Разделим обе стороны неравенства на (x - 3), чтобы избавиться от знаменателя: 2x - 5 / (x^2 - 6x - 7) <= 1 / (x - 3). 2. Домножим обе стороны на (x - 3), чтобы избавиться от знаменателя: (2x - 5)(x - 3) <= 1. 3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 2x^2 - 11x + 15 <= 1. 4. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: 2x^2 - 11x + 15 - 1 <= 0. Или: 2x^2 - 11x + 14 <= 0. 5. Теперь нам нужно решить это квадратное неравенство. Мы можем воспользоваться графическим методом или методом интервалов.

Решение квадратного неравенства:

1. Найдем корни уравнения 2x^2 - 11x + 14 = 0, чтобы найти точки пересечения графика с осью x. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac. В нашем случае, D = (-11)^2 - 4(2)(14) = 121 - 112 = 9. Значит, у нас есть два корня: x = (-(-11) ± √9) / (2(2)). Решая, мы получаем два значения: x = (11 ± 3) / 4. Упрощая, мы получаем: x1 = 14 / 4 = 7/2 и x2 = 8 / 4 = 2. 2. Теперь мы можем использовать эти значения, чтобы разбить ось x на три интервала. Интервалы: (-∞, 7/2), (7/2, 2), (2, +∞). Мы должны проверить каждый интервал, чтобы определить, в каком интервале неравенство выполняется.

Проверка интервалов:

1. Возьмем интервал (-∞, 7/2): Подставляем значение x = 0 в исходное неравенство: 2(0) - 5 / (0^2 - 6(0) - 7) <= 1 / (0 - 3). Упрощаем: -5 / (-7) <= 1 / (-3). Упрощаем еще больше: 5/7 <= -1/3. Это неравенство не выполняется в данном интервале.

2. Возьмем интервал (7/2, 2): Подставляем значение x = 3 в исходное неравенство: 2(3) - 5 / (3^2 - 6(3) - 7) <= 1 / (3 - 3). Упрощаем: 6 - 5 / (9 - 18 - 7) <= 1 / 0. Упрощаем еще больше: 1 / (-16) <= undefined. Это неравенство не выполняется в данном интервале.

3. Возьмем интервал (2, +∞): Подставляем значение x = 3 в исходное неравенство: 2(3) - 5 / (3^2 - 6(3) - 7) <= 1 / (3 - 3). Упрощаем: 6 - 5 / (9 - 18 - 7) <= 1 / 0. Упрощаем еще больше: 1 / (-16) <= undefined. Это неравенство не выполняется в данном интервале.

Вывод:

Мы проверили все интервалы и ни одно из них не удовлетворяет исходному неравенству 2х - 5 / х^2 - 6х - 7 <= 1 / х - 3. Таким образом, данное неравенство не имеет решений.