Question

Как решить: найти все значения а, при каждом из которых оба корня уравнения 2x^2-(6-a)x+3a-a^2=0 принадлежат промежутку (0;2]. СПАСИБО.

Answer 1

2х²-(6-a)x+3a-a²=0     x₁∈(0; 2]     х₂∈(0; 2]
D=(6-a)²-4*2*(3a-a²)=36-12a+a²-24a+8a²=9a²-36a+36=(3a-6)²
x₁=(6-a-(3a-6))/4=(-4a+12)/4=-a+3=3-a
x₂=(6-a+3a-6)/4=2a/4=0.5a

{0<3-a≤2    {3-a>0      {-a>-3    {a<3
{0<0.5a≤2  {3-a≤2      {-a≤-1     {a≥1
                {0.5a>0     {a>0      {a>0
                {0.5a≤2     {a≤4       {a≤4
1≤a<3
a=1
a=2
Ответ: а=1
           а=2

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо найти все значения параметра a, при которых оба корня уравнения 2x^2-(6-a)x+3a-a^2=0 принадлежат промежутку (0;2].

Для начала, найдем дискриминант уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -(6-a), c = 3a-a^2.

Подставим значения в формулу: D = (-(6-a))^2 - 4*2*(3a-a^2) D = (a-6)^2 - 24a + 8a^2

Так как оба корня уравнения принадлежат промежутку (0;2], то дискриминант должен быть больше или равен нулю (D ≥ 0). Решим неравенство:

(a-6)^2 - 24a + 8a^2 ≥ 0

Раскроем скобки и приведем подобные члены: a^2 - 12a + 36 - 24a + 8a^2 ≥ 0 9a^2 - 36a + 36 ≥ 0

Разделим неравенство на 9, чтобы сократить коэффициент при a^2: a^2 - 4a + 4 ≥ 0

Это неравенство является квадратным трехчленом, который можно разложить на множители: (a-2)^2 ≥ 0

Так как квадрат любого числа всегда неотрицательный, то данное неравенство выполняется для любого значения a.

Таким образом, все значения параметра a удовлетворяют условию задачи, и решением является множество всех действительных чисел.