Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=-6/x, y=x+7

Answer 1

$\int\limits^{-1}_{-6} {(x+7+ \frac{6}{x }) } \, dx = \frac{x^2}{2}+7x+6lnx/^{-1}_{-6}= \\ \\ =0.5-7+6ln|-1|-( 18-42-6ln|-6|)= \\ \\ =-6.5+6ln(1)+24+6ln(6)= \\ \\ =17.5-10.75=6,75$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций \(y = -\frac{6}{x}\) и \(y = x + 7\), необходимо найти точки их пересечения. После этого можно построить интеграл для вычисления площади между этими двумя кривыми.

Начнем с нахождения точек пересечения:

\[ -\frac{6}{x} = x + 7 \]

Умножим обе стороны на \(x\) для упрощения:

\[ -6 = x^2 + 7x \]

Получим квадратное уравнение:

\[ x^2 + 7x + 6 = 0 \]

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы можем разложить его на множители или использовать квадратное уравнение:

\[ (x + 1)(x + 6) = 0 \]

Отсюда получаем два решения:

\[ x_1 = -1 \]

\[ x_2 = -6 \]

Теперь подставим эти значения обратно в исходные уравнения, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

Для \(x = -1\):

\[ y = -\frac{6}{-1} = 6 \]

Для \(x = -6\):

\[ y = -\frac{6}{-6} = 1 \]

Таким образом, точки пересечения графиков функций:

\[ A(-1, 6) \]

\[ B(-6, 1) \]

Теперь мы можем записать интеграл для вычисления площади между этими двуми кривыми:

\[ S = \int_{-6}^{-1} [(x + 7) - \left(-\frac{6}{x}\right)] \,dx \]

Теперь найдем неопределенный интеграл:

\[ S = \int_{-6}^{-1} (x + 7 + \frac{6}{x}) \,dx \]

После интегрирования и вычислений получим значение площади этой фигуры. Однако, такие интегралы могут быть сложными для вычисления вручную, и иногда требуется использование численных методов или программных средств для выполнения подобных вычислений.