Question

РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВО F ШТРИХ (X)>0: а)-8x^2-2x+1 в)f(x)=1+x-6x^2 б)x^3/3-x^2+2

Answer 1

A) -16x-2>0
   -16x>2
    x<-8
б) 1-12x>0
    -12x>-1
     x<12
в) x²-2x>0
    x(x-2)>0
    x>0  x-2>0
            x>2
  

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(f(x) \cdot \text{штрих}(x) > 0\), где \(f(x)\) — функция, а \(\text{штрих}(x)\) — её производная, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите корни уравнения \(f(x) = 0\) и постройте интервалы на числовой оси, которые они определяют.

2. Определите знак функции \(f(x)\) на каждом из полученных интервалов.

3. Найдите производную функции \(f(x)\).

4. Найдите корни уравнения \(\text{штрих}(x) = 0\) и постройте интервалы на числовой оси, которые они определяют.

5. Определите знак производной \(\text{штрих}(x)\) на каждом из полученных интервалов.

6. Определите знак выражения \(f(x) \cdot \text{штрих}(x)\) на каждом из интервалов.

Итак, начнем с функции \(f(x) = -8x^2 - 2x + 1\):

1. Найдем корни уравнения \(f(x) = 0\):

\(-8x^2 - 2x + 1 = 0\)

Решение этого квадратного уравнения может быть найдено с использованием дискриминанта:

\(\Delta = b^2 - 4ac\)

\(\Delta = (-2)^2 - 4(-8)(1) = 4 + 32 = 36\)

Корни уравнения:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{-16}\)

Получаем два корня \(x_1 = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\) и \(x_2 = -\frac{8}{8} = -1\).

Построим интервалы: \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((-1, -\infty)\), \((-\frac{1}{2}, -1)\), \((-1, \infty)\).

2. Определим знак функции \(f(x)\) на каждом интервале. Для этого выберем точку из каждого интервала и подставим её в \(f(x)\):

- При \(x = -2\): \(f(-2) = -8(-2)^2 - 2(-2) + 1 = -32 + 4 + 1 = -27\), знак "минус". - При \(x = -\frac{3}{4}\): \(f\left(-\frac{3}{4}\right) = -8\left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{4}\right) + 1 = -4.25\), знак "минус". - При \(x = -\frac{3}{4}\): \(f\left(-\frac{3}{4}\right) = -8\left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{4}\right) + 1 = -4.25\), знак "плюс". - При \(x = 0\): \(f(0) = 1\), знак "плюс".

Таким образом, знаки функции \(f(x)\) на интервалах соответственно: "-", "-", "+", "+".

3. Теперь найдем производную \(f'(x)\):

\(f'(x) = -16x - 2\).

4. Найдем корни уравнения \(f'(x) = 0\):

\(-16x - 2 = 0\)

\(x = -\frac{1}{8}\).

Интервалы: \((-\infty, -\frac{1}{8})\), \((- \frac{1}{8}, \infty)\).

5. Определим знак производной \(f'(x)\) на каждом интервале:

- При \(x = -\frac{1}{4}\): \(f'(-\frac{1}{4}) = 2\), знак "плюс". - При \(x = -\frac{1}{8}\): \(f'(-\frac{1}{8}) = 0\). - При \(x = 0\): \(f'(0) = -2\), знак "минус".

Таким образом, знаки производной \(f'(x)\) на интервалах соответственно: "+", "0", "-".

6. Определим знак выражения \(f(x) \cdot f'(x)\) на каждом интервале:

- На интервале \((-\infty, -\frac{1}{8})\): знак "плюс". - На интервале \((- \frac{1}{8}, -\frac{1}{2})\): знак "0". - На интервале \((-\frac{1}{2}, -1)\): знак "минус". - На интервале \((-1, \infty)\): знак "0".

Итак, решение неравенства \(f(x) \cdot \text{штрих}(x) > 0\) — это интервалы, где выражение положительно. Это интервалы \((-\infty, -\frac{1}{8})\) и \((-1, -\frac{1}{2})\).