Question

y=89x-87sinx57найдите наибольшее значение функции

Answer 1

$y=89x-87sinx+57\\y'=89-87cosx\\89-87cosx=0\\ 87cosx=89$

корней нет, значит нужно подставлять в функцию концы данного отрезка

у(-п/2)=-89п/2+87

у(0)=57

Ответ:57

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = 89x - 87 \sin(x) + 57 \), нужно использовать метод дифференцирования. Мы можем найти момент, когда производная этой функции равна нулю, что указывает на экстремум функции (максимум или минимум), и затем проверить значение второй производной, чтобы убедиться, что это максимум.

Давайте найдем производную этой функции \( y' \) по переменной \( x \):

\[ y = 89x - 87 \sin(x) + 57 \] \[ y' = 89 - 87 \cos(x) \]

Теперь приравняем \( y' \) к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 89 - 87 \cos(x) = 0 \] \[ \cos(x) = \frac{89}{87} \] \[ x = \arccos\left(\frac{89}{87}\right) \approx 0.487 \]

Теперь нужно проверить, является ли это значение максимумом или минимумом. Для этого найдем вторую производную:

\[ y'' = 87 \sin(x) \] \[ y''(\arccos(89/87)) = 87 \sin(\arccos(89/87)) \]

Мы знаем, что \( \sin(\arccos(\text{что-то})) = \sqrt{1 - (\text{что-то})^2} \), используем это:

\[ y''(\arccos(89/87)) = 87 \sqrt{1 - \left(\frac{89}{87}\right)^2} \] \[ y''(\arccos(89/87)) = 87 \sqrt{1 - \frac{7921}{7569}} \] \[ y''(\arccos(89/87)) = 87 \sqrt{\frac{648}{7569}} \] \[ y''(\arccos(89/87)) = 87 \cdot \frac{18}{87} \] \[ y''(\arccos(89/87)) = 18 \]

Поскольку вторая производная положительна, это подтверждает, что \( x = \arccos\left(\frac{89}{87}\right) \) соответствует локальному максимуму функции.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции, подставим \( x = \arccos\left(\frac{89}{87}\right) \) обратно в исходное уравнение:

\[ y = 89 \cdot \left(\arccos\left(\frac{89}{87}\right)\right) - 87 \sin\left(\arccos\left(\frac{89}{87}\right)\right) + 57 \]

Вычисления могут быть сложными, но это даст наибольшее значение функции \( y \).