Question

Найдите сумму ординат точек экстремума функции f(x)=x^3/x^-3

Answer 1

1) Функция не существует, если x^3-3 = 0

x1 = корень третьей степени из 3

2) знак функции меняется в следующих точках:

x^3 = 0, x2 = 0

3) рассмотрим промежутки знакопостоянства:

 

___+____x2___-____x1____+______

 

следовательно, обе точки являются точками экстремума

их ординаты: 1) не существует

                      2) 0

ответ: искомая сумма равна нулю

Answer 2

Для нахождения суммы ординат точек экстремума функции \(f(x) = \frac{x^3}{x^{-3}}\), начнем с выражения функции в более удобной форме.

Исходная функция: \[ f(x) = \frac{x^3}{x^{-3}} \]

Для упрощения, используем свойство отрицательного показателя степени: \[ x^{-n} = \frac{1}{x^n} \]

Применим это свойство к нашей функции: \[ f(x) = \frac{x^3}{\frac{1}{x^3}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(x^3\) для устранения дроби в знаменателе: \[ f(x) = x^3 \cdot x^3 = x^6 \]

Теперь у нас есть более простая форма функции: \[ f(x) = x^6 \]

Для нахождения точек экстремума найдем производную функции и приравняем ее к нулю: \[ f'(x) = 6x^5 \]

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: \[ 6x^5 = 0 \]

Отсюда следует, что \(x = 0\).

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума при \(x = 0\).

Теперь найдем ординату этой точки, подставив \(x = 0\) в исходную функцию: \[ f(0) = 0^6 = 0 \]

Таким образом, единственная точка экстремума имеет координаты \((0, 0)\). Сумма ординат этой точки равна 0.