Question

sqrt |x-1|-1 >= sqrt |x-1|-2011Решить неравенство

Answer 1

Для начала найдем ОДЗ
$\left \{ {{[x-1]-1 \geq 0} \atop {[x-1]-2011 \geq 0}} \right.$
Решим первое неравенство
$[x-1] \geq 1$
или $x-1 \geq 1$  или  $x-1 \leq -1$
те$x \geq 2$ или $x \leq 0$
Решим второе
$[x-1]-2011 \geq 0$
$[x-1] \geq 2011$
или  $x-1 \geq 2011$  или  $x-1 \leq -2011$
или $x \geq 2012$   или  $x \leq -2010$ 
Решением ОДЗ является (-беск; -2010) и (2012;+ бесконеч)
Решим уравнение, возведем обе части в квадрат
$[x-1]-1 \geq [x-1]-2011$
$[x-1]-[x-1] \geq 1-2011$
$0 \geq -2010$
Это неравенство верное, поэтому верно при любых значениях х, входящих в ОДЗ. То есть ответ(-беск; -2010) и (2012;+ бесконеч) 

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, давайте разделим его на две части и рассмотрим каждую из них по отдельности:

1. sqrt(|x-1|) - 1 >= sqrt(|x-1|) - 2011

Для начала, давайте обозначим y = sqrt(|x-1|). Тогда неравенство можно переписать следующим образом:

y - 1 >= y - 2011

Вычитая y из обеих частей неравенства, получим:

-1 >= -2011

Это неравенство верно для всех значений y, так как любое число, уменьшенное на 1, будет всегда больше или равно этому числу, уменьшенному на 2011. Следовательно, первая часть неравенства выполняется для любого значения x.

2. sqrt(|x-1|) - 1 <= sqrt(|x-1|) - 2011

Аналогично, обозначим y = sqrt(|x-1|). Тогда неравенство можно переписать следующим образом:

y - 1 <= y - 2011

Вычитая y из обеих частей неравенства, получим:

-1 <= -2011

Это неравенство также верно для всех значений y. Следовательно, вторая часть неравенства выполняется для любого значения x.

Таким образом, исходное неравенство sqrt(|x-1|) - 1 >= sqrt(|x-1|) - 2011 не имеет решений, так как оба условия выполняются для любого значения x.