Question

Решите показательное уравнение.

Answer 1

$16^x - 2 \cdot 12^x - 3 \cdot 9^x = 0 \\ \\ 4^{2x} - 2 \cdot 4^x \cdot 3^x - 3 \cdot 3^{2x} = 0 \\ \\ \dfrac{4^{2x}}{3^{2x}} - 2 \cdot \dfrac{4^x}{3^x} - 3 = 0$
Пусть $t = \dfrac{4^x}{3^x}, \ t \ \textgreater \ 0$
$t^2 - 2t - 3 = 0 \\ \\ t_1 + t_2 = 2 \\ t_1 \cdot t_2 = -3 \\ \\ t_1 = -1 - ne \ ud. \\ t_2 = 3$
Обратная замена:
$( \dfrac{4}{3})^x = 3 \\ x = log_{ \frac{4}{3}}3$

Answer 2

Чтобы решить показательное уравнение, нужно использовать свойства показательных функций и привести уравнение к виду, в котором можно найти значение неизвестной.

Допустим, у нас есть показательное уравнение вида a^x = b, где a и b - положительные числа, а x - неизвестная.

Для начала, возьмем логарифм от обеих частей уравнения по основанию a:

log_a(a^x) = log_a(b)

По свойству логарифма log_a(a^x) = x, поэтому уравнение преобразуется следующим образом:

x = log_a(b)

Теперь мы можем найти значение x, взяв логарифм от b по основанию a.

Допустим, у нас есть уравнение 2^x = 16. Чтобы найти значение x, мы возьмем логарифм от 16 по основанию 2:

x = log_2(16)

Чтобы упростить вычисление, мы можем записать 16 как степень 2:

x = log_2(2^4)

Используя свойство логарифма log_a(a^x) = x, уравнение преобразуется следующим образом:

x = 4

Таким образом, решение показательного уравнения 2^x = 16 равно x = 4.