Question

Система: x²+ y²=100, xy=48; решите

Answer 1

Х=8 и х=-8
y=6 и y=-6
хy=48

Answer 2

Чтобы решить систему уравнений x² + y² = 100 и xy = 48, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте решим это, используя метод исключения.

Метод исключения

1. Возьмем уравнение xy = 48 и выразим одну переменную через другую. Допустим, мы выразим y через x: y = 48/x.

2. Подставим это выражение для y в уравнение x² + y² = 100: x² + (48/x)² = 100.

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: x² + (48²/x²) = 100.

4. Умножим все слагаемые на x², чтобы избавиться от дробей: x⁴ + 48² = 100x².

5. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: x⁴ - 100x² + 48² = 0.

6. Это уравнение является квадратным относительно x². Решим его, используя квадратное уравнение.

7. Положим x² = t. Тогда наше уравнение примет вид: t² - 100t + 48² = 0.

8. Решим это квадратное уравнение для t, используя любой удобный метод решения квадратных уравнений (например, формулу дискриминанта или завершение квадрата).

9. После нахождения значений t, найдем соответствующие значения x, используя обратную замену x = ±√t.

10. Подставим найденные значения x в уравнение xy = 48, чтобы найти соответствующие значения y.

Решение

Применяя вышеуказанные шаги, найдем значения переменных x и y:

1. Решим уравнение t² - 100t + 48² = 0 для t.

Используя формулу дискриминанта, получим:

D = (-100)² - 4(1)(48²) ≈ 10000 - 4(2304) ≈ 10000 - 9216 = 784.

Найдем корни уравнения:

t₁ = (-(-100) + √784) / (2(1)) ≈ (100 + 28) / 2 ≈ 128 / 2 = 64.

t₂ = (-(-100) - √784) / (2(1)) ≈ (100 - 28) / 2 ≈ 72 / 2 = 36.

2. Найдем соответствующие значения x, используя обратную замену x = ±√t:

x₁ = ±√64 = ±8.

x₂ = ±√36 = ±6.

3. Подставим значения x в уравнение xy = 48, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x₁ = 8: 8y = 48 => y = 48/8 = 6.

Для x₂ = -8: -8y = 48 => y = -48/8 = -6.

Для x₃ = 6: 6y = 48 => y = 48/6 = 8.

Для x₄ = -6: -6y = 48 => y = -48/6 = -8.

Итак, решение системы уравнений x² + y² = 100 и xy = 48 состоит из четырех пар значений (x, y):

(8, 6), (-8, -6), (6, 8), (-6, -8).