Question

найти точку минимума функции y=(23-x) *e в степени 23-x

Answer 1

$y=(23-x)e^{23-x} \\ \\ y'=-e^{23-x}-(23-x)e^{23-x}=-e^{23-x}(1+(23-x))=-e^{23-x}(24-x) \\ \\ -e^{23-x}(24-x)=0 \\ x=24$

      -             +
------------|--------------->x
           24

$y(24)=(23-24)e^{23-24}=-e^{-1}=- \frac{1}{e}$

Ответ: $(24; - \frac{1}{e} )$

Answer 2

Для поиска точки минимума функции y = (23 - x) * e^(23 - x), мы можем использовать дифференциальное исчисление. Чтобы найти точку минимума, мы должны найти значение x, при котором производная функции равна нулю.

Вычисление производной функции

Давайте начнем с вычисления производной функции y по переменной x. Используем правило производной произведения функций и правило дифференцирования экспоненты:

y = (23 - x) * e^(23 - x)

Для удобства, давайте введем новую переменную u = 23 - x. Тогда функция может быть записана как:

y = u * e^u

Теперь вычислим производную функции y по переменной u с учетом правила производной произведения функций:

dy/du = (d(u)/du) * e^u + u * (d(e^u)/du)

Первое слагаемое d(u)/du равно 1. Второе слагаемое d(e^u)/du можно выразить с помощью цепного правила:

d(e^u)/du = (d(e^u)/du) * (du/du) = e^u * (d(u)/du) = e^u

Подставив эти значения в формулу производной, получаем:

dy/du = 1 * e^u + u * e^u = (1 + u) * e^u

Поиск точки минимума

Теперь нам нужно найти значение u, при котором производная dy/du равна нулю. Решим уравнение (1 + u) * e^u = 0:

(1 + u) * e^u = 0

Так как экспонента e^u всегда положительна, это уравнение имеет единственное решение u = -1.

Перевод обратно в переменную x

Мы нашли, что значение u равно -1. Теперь переведем его обратно в переменную x, используя уравнение u = 23 - x:

-1 = 23 - x

Выразим x:

x = 23 + 1

x = 24

Точка минимума

Таким образом, точка минимума функции y = (23 - x) * e^(23 - x) находится при x = 24.