Question

Длины сторон треугольника равны 4 и 5,а угол между ними 30 градусов.В этот угол вписали окружность,центр которой находится на третьей стороне треугольника.Найдите радиус этой окружности.

Answer 1

Обозначим треугольник АВС. АВ=4, ВС=5. О центр окружности на АС. Соединим точки О и В. Из точки О проведём перпендикуляры (радиусы) ОМ на АВ и ОК на ВС. (ОК на продолжении АВ).  Площадь треугольника АВС равна S авс=1/2*АВ*ВС*sin30=1/2*4*5*1/2=5.   Площадь этого треугольника равна сумме площадей треугольников АВО и СВО. То есть Sавс=1/2АВ*ОМ+1/2ВС*ОК, или 5=1/2*4*R+1/2*5*R.   5=4,5R. То есть R=10/9.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов. Дано, что длины сторон треугольника равны 4 и 5, а угол между ними составляет 30 градусов. Пусть третья сторона треугольника имеет длину c, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен r.

Нахождение третьей стороны треугольника

Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны треугольника. Теорема косинусов гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

где c - третья сторона треугольника, a и b - длины известных сторон, C - угол между этими сторонами.

В нашем случае, a = 4, b = 5 и C = 30 градусов. Подставляя значения в формулу, получим:

c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 * 4 * 5 * cos(30°)

c^2 = 16 + 25 - 40 * cos(30°)

c^2 = 41 - 40 * (sqrt(3)/2)

c^2 = 41 - 20 * sqrt(3)

c^2 ≈ 7.86

Таким образом, третья сторона треугольника примерно равна sqrt(7.86) или около 2.80.

Нахождение радиуса вписанной окружности

Для нахождения радиуса вписанной окружности мы можем использовать формулу для площади треугольника:

S = (a + b + c) / 2

где S - площадь треугольника, a, b и c - длины сторон треугольника.

Также, для треугольника, вписанного в окружность, площадь S можно выразить через радиус окружности r:

S = (a + b + c) / 2 = r * p

где p - полупериметр треугольника.

В нашем случае, a = 4, b = 5 и c ≈ 2.80. Подставляя значения в формулу, получим:

S = (4 + 5 + 2.80) / 2 ≈ 5.90

Таким образом, площадь треугольника примерно равна 5.90.

Теперь мы можем выразить радиус окружности r через площадь S:

r = S / p ≈ 5.90 / (2.80 + 4 + 5) ≈ 0.35

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник, примерно равен 0.35.