Question

Допоможіть обчислити Cos ( 11пі/12)- СOS (5пі/12)

Answer 1

Cos(11π/12)-cos(5π/12)=-2sin((11π/12+5π/12)/2)*sin((11π/12-5π/12)/2)=
=-2sin(16π/24)*sin(6π/24)=-2sin(2π/3)*sin(π/4)=-2*√3/2*√2/2=-√6/2.

Answer 2

Добре, давайте розрахуємо значення виразу Cos(11π/12) - Cos(5π/12) по черзі.

Спочатку розглянемо значення Cos(11π/12). Щоб це зробити, нам знадобиться знання значень косинуса для кількох стандартних кутів. У формулі Cos(α), де α - кут в радіанах, косинус повертає значення, що представляє довжину прилеглого катета у правильному прямокутному трикутнику, поділену на гіпотенузу.

Значення косинуса для деяких стандартних кутів: - Cos(0) = 1 - Cos(π/6) = √3/2 - Cos(π/4) = 1/√2 - Cos(π/3) = 1/2 - Cos(π/2) = 0

За допомогою цих значень, ми можемо розрахувати Cos(11π/12). Звертаючись до геометричного зображення, ми бачимо, що 11π/12 позначає кут, який знаходиться між π/2 та π. Оскільки Cos(π/2) = 0 та Cos(π) = -1, ми можемо сказати, що Cos(11π/12) лежить між 0 та -1. Але ми можемо точніше обчислити його значення за допомогою формули косинуса для суми кутів.

Формула косинуса для суми кутів:

Cos(α + β) = Cos(α) * Cos(β) - Sin(α) * Sin(β)

У нашому випадку, α = π/3, а β = π/4. Використовуючи значення косинуса та синуса для π/3 та π/4, ми можемо обчислити Cos(11π/12).

Спочатку обчислимо Cos(π/3) та Sin(π/3): Cos(π/3) = 1/2 Sin(π/3) = √3/2

Тепер обчислимо Cos(π/4) та Sin(π/4): Cos(π/4) = 1/√2 Sin(π/4) = 1/√2

Застосуємо формулу для обчислення Cos(11π/12): Cos(11π/12) = Cos(π/3 + π/4) = Cos(π/3) * Cos(π/4) - Sin(π/3) * Sin(π/4)

Підставимо значення: Cos(11π/12) = (1/2) * (1/√2) - (√3/2) * (1/√2)

Спростимо вираз: Cos(11π/12) = 1/(2√2) - √3/(2√2) = (1 - √3)/(2√2)

Тепер ми можемо перейти до обчислення другої частини виразу, а саме Cos(5π/12).

Аналогічно обчислюємо Cos(5π/12) за допомогою формули для суми кутів: Cos(5π/12) = Cos(π/3 - π/4) = Cos(π/3) * Cos(π/4) + Sin(π/3) * Sin(π/4)

Підставимо значення: Cos(5π/12) = (1/2) * (1/√2) + (√3/2) * (1/√2)

Спростимо вираз: Cos(5π/12) = 1/(2√2) + √3/(2√2) = (1 + √3)/(2√2)

Тепер, коли ми маємо значення обох косинусів, ми можемо обчислити їх різницю: Cos(11π/12) - Cos(5π/12) = (1 - √3)/(2√2) - (1 + √3)/(2√2)

Скорочуємо вираз: Cos(11π/12) - Cos(5π/12) = (1 - √3 - 1 - √3)/(2√2)

Спрощуємо вираз: Cos(11π/12) - Cos(5π/12) = -2√3/(2√2)

Тепер ми можемо зробити деякі спрощення: Cos(11π/12) - Cos(5π/12) = -√3/√2

Щоб спростити дальше, помножимо на √2/√2: Cos(11π/12) - Cos(5π/12) = -√6/2

Таким чином, значення виразу Cos(11π/12) - Cos(5π/12) дорівнює -√6/2.