Question

Sin4x-cos4x-sin2x+cos2x=

Answer 1

Sin4x-sin2x-cos4x+cos2x=sin2x-cos2x

Answer 2

Давайте решим данное уравнение поэтапно.

У нас дано уравнение: sin(4x) - cos(4x) - sin(2x) + cos(2x) = 0

Шаг 1: Подстановка тригонометрических формул

Для упрощения уравнения, мы можем использовать некоторые тригонометрические формулы. Давайте применим формулы для синуса и косинуса двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь у нас есть новое уравнение:

sin(4x) - cos(4x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) = 0

Шаг 2: Упрощение и приведение подобных слагаемых

Давайте разложим sin(4x) и cos(4x) с использованием формул двойного угла:

sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x)

Подставим эти значения в уравнение:

2sin(2x)cos(2x) - cos^2(2x) + sin^2(2x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) = 0

Упростим это уравнение:

2sin(2x)cos(2x) + sin^2(2x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Шаг 3: Факторизация

Теперь у нас есть квадратные члены sin^2(2x) и cos^2(x). Мы можем использовать формулу синуса двойного угла еще раз, чтобы выразить sin^2(2x) и cos^2(x) через cos(2x) и cos(x):

sin^2(2x) = (1 - cos(4x))/2 cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2

Подставим эти значения обратно в уравнение:

2sin(2x)cos(2x) + (1 - cos(4x))/2 - 2sin(x)cos(x) + (1 + cos(2x))/2 = 0

Шаг 4: Упрощение и приведение подобных слагаемых

Упростим уравнение, умножив оба выражения на 2:

4sin(2x)cos(2x) + 1 - cos(4x) - 4sin(x)cos(x) + 1 + cos(2x) = 0

Шаг 5: Группировка и упрощение

Группируем слагаемые:

4sin(2x)cos(2x) - 4sin(x)cos(x) + cos(2x) - cos(4x) + 2 = 0

Шаг 6: Факторизация

Теперь у нас есть несколько слагаемых, и мы можем факторизовать общие множители:

4sin(x)cos(x)(2cos(x) - 1) + cos(2x) - cos(4x) + 2 = 0

Шаг 7: Дальнейшее упрощение

Если у нас есть равенство, то мы можем выразить cos(2x) через cos(x) и sin(x) с использованием формулы двойного угла:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставим это выражение в уравнение:

4sin(x)cos(x)(2cos(x) - 1) + 2cos^2(x) - 1 - cos(4x) + 2 = 0

Шаг 8: Упрощение и приведение подобных слагаемых

Упростим и приведем подобные слагаемые:

8sin(x)cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) - cos(4x) + 2cos^2(x) + 1 = 0

Шаг 9: Упрощение и приведение подобных слагаемых

Если мы выразим cos(4x) через cos(x) и sin(x) с использованием формулы двойного угла, мы получим:

cos(4x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Подставим это выражение в уравнение:

8sin(x)cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) - (4cos^3(x) - 3cos(x)) + 2cos^2(x) + 1 = 0

Шаг 10: Упрощение и приведение подобных слагаемых

Упростим и приведем подобные слагаемые:

8sin(x)cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) - 4cos^3(x) + 3cos(x) + 2cos^2(x) + 1 = 0

Шаг 11: Упрощение и приведение подобных слагаемых

Сгруппируем слагаемые:

(8sin(x)cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) + 2cos^2(x)) - 4cos^3(x) + 3cos(x) + 1 = 0

Шаг 12: Факторизация

Теперь мы можем факторизовать общие множители в первой группе слагаемых:

2cos^2(x)(4sin(x) - 1) - 4cos^3(x) + 3cos(x) + 1 = 0

Шаг 13: Упрощение и приведение подобных слагаемых

Упростим уравнение:

8cos^2(x)sin(x) - 2cos^2(x) - 4cos^3(x) + 3cos(x) + 1 = 0

Шаг 14: Факторизация

Мы можем факторизовать множитель cos(x):

cos(x)(8cos^2(x)sin(x) - 2cos(x) - 4cos^2(x) + 3) + 1 = 0

Шаг 15: Решение уравнения

Теперь мы можем решить уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:

cos(x) = 0 8cos^2(x)sin(x) - 2cos(x) - 4cos^2(x) + 3 = 0

Первое уравнение cos(x) = 0 имеет решение x = π/2 + πn, где n - целое число.

Второе уравнение 8cos^2(x)sin(x) - 2cos(x) - 4cos^2(x) + 3 = 0 достаточно сложное для аналитического решения. Возможно, придется использовать численные методы для его решения.

Итак, решение исходного уравнения sin(4x) - cos(4x) - sin(2x) + cos(2x) = 0 состоит из решений двух уравнений: x = π/2 + πn для cos(x) = 0 и решения второго уравнения 8cos^2(x)sin(x) - 2cos(x) - 4cos^2(x) + 3 = 0, которое может потребовать численного решения.