Question

F(x)=2sinx + 3 cosx найти первообразную

Answer 1

Решение:
f'(x)= -2cosx+3sinx

Answer 2

Для нахождения первообразной функции F(x) = 2sin(x) + 3cos(x) необходимо применить метод интегрирования.

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на формуле:

∫ u * dv = u * v - ∫ v * du

где u и v - функции от x, а du и dv - их дифференциалы.

Для функции F(x) = 2sin(x) + 3cos(x) выберем u и dv следующим образом:

u = 2sin(x) => du = 2cos(x) dx dv = dx => v = x

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫ (2sin(x) + 3cos(x)) dx = ∫ u * dv = u * v - ∫ v * du = (2sin(x)) * x - ∫ x * (2cos(x)) dx + (3cos(x)) * x

Далее, интегрируем ∫ x * (2cos(x)) dx. Для этого воспользуемся методом интегрирования по частям еще раз.

Второе применение метода интегрирования по частям

Для функции x * (2cos(x)) выберем u и dv следующим образом:

u = x => du = dx dv = 2cos(x) dx => v = ∫ (2cos(x)) dx = 2sin(x)

Применим формулу интегрирования по частям:

∫ x * (2cos(x)) dx = ∫ u * dv = u * v - ∫ v * du = (x) * (2sin(x)) - ∫ (2sin(x)) dx = 2xsin(x) - 2∫ sin(x) dx = 2xsin(x) + 2cos(x)

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу:

∫ (2sin(x) + 3cos(x)) dx = (2sin(x)) * x - ∫ x * (2cos(x)) dx + (3cos(x)) * x = (2sin(x)) * x - (2xsin(x) + 2cos(x)) + (3cos(x)) * x = 2xsin(x) - 2xsin(x) - 2cos(x) + 3xcos(x) = xcos(x) + cos(x)

Таким образом, первообразная функции F(x) = 2sin(x) + 3cos(x) равна xcos(x) + cos(x).