Question

Решите уравнение:2 cos^2(п+х)-2cos(п/2-2х)+1=0

Answer 1

$2cos^2( \pi + x )-2cos( \frac{ \pi }{2} -2x)+1=0 \\ -2cos^2x+2sinx+1=0 \\ -2+2sin^2x+2sinx+1=0 \\ 2sin^2x+2sinx-1=0$

$sinx=t(t \leq 1) \\ 2t^2+2t-1=0 \\ D=4+8=12; \sqrt{D} =2 \sqrt{3} \\ t_1= \frac{-2+2 \sqrt{3} }{4} = \frac{-1+ \sqrt{3} }{2}; \\ t_2= \frac{-1- \sqrt{3} }{2}$

t2 - лишний корень

Вернемся к замене

$sinx= \frac{-1+ \sqrt{3} }{2} \\ \\ x=(-1)^k^+^1*arcsin( \frac{1+ \sqrt{3} }{2} ) + \pi k$

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[2\cos^2(\pi + x) - 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 1 = 0\]

Для удобства решения заметим, что \(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\) и \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x)\).

Теперь заменим эти выражения в уравнении:

\[2(-\cos^2(x)) - 2\sin(2x) + 1 = 0\]

Умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента перед \(\cos^2(x)\):

\[2\cos^2(x) + 2\sin(2x) - 1 = 0\]

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами. Заметим, что \(2\sin(2x) = 4\sin(x)\cos(x)\):

\[2\cos^2(x) + 4\sin(x)\cos(x) - 1 = 0\]

Теперь мы можем рассматривать это как квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Обозначим \(\cos(x)\) за \(t\):

\[2t^2 + 4t - 1 = 0\]

Решим это уравнение с использованием квадратного уравнения. Выразим \(t\) через дискриминант:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 2\), \(b = 4\), \(c = -1\).

\[t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}\]

\[t = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{4}\]

\[t = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{4}\]

\[t = -1 \pm \sqrt{2}\]

Таким образом, \(\cos(x)\) может быть равен \(-1 + \sqrt{2}\) или \(-1 - \sqrt{2}\). Однако, заметим, что значение \(\cos(x)\) лежит в интервале \([-1, 1]\). Поэтому мы можем отбросить \(-1 - \sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти значения \(x\), возьмем обратный косинус от \( -1 + \sqrt{2}\):

\[x = \cos^{-1}(-1 + \sqrt{2})\]

Пожалуйста, обратите внимание, что обратный косинус имеет множественные значения в пределах периода \(2\pi\), так что ответом могут быть:

\[x = \cos^{-1}(-1 + \sqrt{2}) + 2k\pi\]

где \(k\) - любое целое число.