Question

|x^2-8x+12|⊇|7-x|+x^2-4x+1 Решите пожалуйста

Answer 1

|x^2 - 8x + 12| >= |7 - x| + x^2 - 4x + 1
Слева под модулем стоит
x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)
Оно < 0 при 2 < x < 6 и >= 0 при x <= 2 U x >= 6
Справа под модулем стоит 7 - x. Оно < 0 при x > 7 и >= 0 при x <= 7.

1) При x <= 2 будет |x^2-8x+12| = x^2-8x+12; |7-x| = 7-x
x^2 - 8x + 12 >= 7 - x + x^2 - 4x + 1
-8x + 12 >= 8 - 5x
12 - 8 >= 8x - 5x
4 >= 3x
x <= 4/3 < 2 - подходит.

2) При 2 < x < 6 будет |x^2-8x+12| = -x^2+8x-12; |7-x| = 7-x
-x^2 + 8x - 12 >= 7 - x + x^2 - 4x + 1
0 >= 2x^2 - 5x - 8x + 8 + 12
2x^2 - 13x + 20 <= 0
D = 13^2 - 4*2*20 = 169 - 160 = 9
x1 = (13 - 9)/4 = 1; x2 = (13 + 9)/4 = 5,5
1 <= x <= 5,5, но по условию 2 < x < 6, поэтому
2 < x <= 5,5

3) При 6 <= x <= 7 будет |x^2-8x+12| = x^2-8x+12; |7-x| = 7-x
x^2 - 8x + 12 >= 7 - x + x^2 - 4x + 1
-8x + 12 >= 8 - 5x
12 - 8 >= 8x - 5x
4 >= 3x
x <= 4/3, но по условию 6 <= x <= 7 - не подходит.

4) При x > 7 будет |x^2-8x+12| = x^2-8x+12; |7-x| = x-7
x^2 - 8x + 12 >= x - 7 + x^2 - 4x + 1
-8x + 12 >= -3x - 6
12 + 6 >= 8x - 3x
18 >= 5x
x <= 18/5 < 7, но по условию x > 7 - не подходит.

Ответ:  x <= 4/3 U  2 < x <= 5,5

Answer 2

Для начала, рассмотрим неравенство |x^2-8x+12|⊇|7-x|+x^2-4x+1.

Первым шагом заметим, что оба модуля могут быть отрицательными только в том случае, если их аргументы находятся вне их областей определения. Это означает, что мы можем разбить исходное неравенство на два неравенства без модулей:

1. x^2-8x+12 ≥ 7-x + x^2-4x+1 2. x^2-8x+12 ≤ -(7-x) + x^2-4x+1

Раскроем скобки и упростим неравенства:

1. x^2-8x+12 ≥ 8 - 5x + x^2 -8x ≥ -5x - 4 -3x ≥ -4 x ≤ 4/3

2. x^2-8x+12 ≤ -7 + x - x^2 - 4x + 1 x^2 - 5x + 4 ≤ 0 (x-1)(x-4) ≤ 0

Теперь построим таблицу знаков для каждого из неравенств:

1. x ≤ 4/3: | - | - | - Так как неравенство включает знак "меньше или равно", решением будет интервал (-∞, 4/3].

2. (x-1)(x-4) ≤ 0: x-1 ≤ 0, x-4 ≥ 0: | - | + | x ≤ 1 x-1 ≥ 0, x-4 ≤ 0: | + | - | 1 ≤ x ≤ 4

Так как неравенство включает знак "меньше или равно", решением будет объединение двух интервалов: [1, 4].

Таким образом, решением исходного неравенства будет объединение двух интервалов: (-∞, 4/3] ∪ [1, 4].