Question

Уравнение y=e^4x-5e^2x+11. Нужно найти наименьшее значение на отрезке [0;2]. Я нашел производную 4e^4x-10e^2x И получил корень 0.5ln2.5. А вот как преобразовать 0.5ln2.5 в нормальное число?

Answer 1

Решение
Находим первую производную функции:
y' = 4*e^(4x) - 10*e^(2x)
Приравниваем ее к нулю:
4*e^(4x) - 10*e^(2x) = 0
2*e^(4x) - 5*e^(2x) = 0
e^(2x) * (2*e^(2x) - 5) = 0
e^(2x) = 2,5
2x * lne = ln(2,5)
x = 0,5 * ln(2,5)
x = 0,5 * 0,916 
x = 0,458
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(0,458) = 4,75
f(0) = 7
f(2) = 2718,9672
Ответ: fmin = 4,75

Answer 2

Я могу помочь вам решить эту задачу.

Вы правильно нашли производную функции y=e^4x-5e^2x+11 и приравняли ее к нулю, чтобы найти точки экстремума на отрезке [0;2]. Вы получили уравнение 4e^4x-10e^2x=0, которое можно решить методом замены переменных. Пусть u=e^2x, тогда уравнение примет вид 4u^2-10u=0. Решая его относительно u, мы получаем u=0 или u=5/2. Возвращаясь к x, мы находим x=0 или x=0.5ln2.5.

Чтобы преобразовать 0.5ln2.5 в десятичное число, вы можете использовать калькулятор, который умеет работать с логарифмами. Например, вы можете воспользоваться [онлайн-калькулятором Symbolab](https://www.symbolab.com/solver/convert-to-decimal-calculator) или [калькулятором десятичных чисел](https://www.omnicalculator.com/math/decimal). Введите 0.5ln2.5 в поле для ввода и нажмите кнопку "Calculate". Вы получите приблизительное значение 0.458145366.

Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции y на отрезке [0;2], вам нужно подставить найденные точки экстремума в исходное уравнение и сравнить значения. Также не забудьте проверить значения на концах отрезка, то есть при x=0 и x=2. Выполняя эти действия, мы получаем:

y(0)=e^0-5e^0+11=7

y(0.5ln2.5)=e^2-5e+11≈-0.718281828

y(2)=e^8-5e^4+11≈2951.811764

Из этих значений видно, что наименьшее значение функции y на отрезке [0;2] достигается при x=0.5ln2.5 и равно -0.718281828.

Надеюсь, это помогло вам понять решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад ответить.