Question

15 БАЛЛОВ!!! ПОМОГИТЕ С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ Решите уравнения: 1. 4sin^2x+4cosx-1=0 2. Корень из 3sin^2x+sinx cosx=0 3. 3ctg^2(3П/2+x/3)-2tg x/3=1 Решите уравнение: sinx cosx-5sin^2x=-3

Answer 1

В тригонометрии очень много формул, но тут используются такие методы, как вынесение за скобки, деление на синус или косинус, замена переменной. Советую вам разобрать решения, иначе потом будет туго)

Answer 2

Конечно, давайте разберём эти уравнения по порядку.

Уравнение 1: \[4\sin^2x + 4\cos x - 1 = 0\]

Заметим, что \(4\sin^2x = 4 - 4\cos^2x\) (используя тригонометрическую тождественность \(\sin^2x + \cos^2x = 1\)). Подставим это в уравнение:

\[4 - 4\cos^2x + 4\cos x - 1 = 0\] \[4\cos^2x - 4\cos x + 3 = 0\]

Обозначим \(\cos x\) как \(t\). Уравнение становится квадратным относительно \(t\):

\[4t^2 - 4t + 3 = 0\]

Решая это квадратное уравнение относительно \(t\), можно использовать квадратное уравнение \(at^2 + bt + c = 0\):

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Применяя это к нашему уравнению, найдем значения \(t\). Используем \(a = 4\), \(b = -4\), и \(c = 3\):

\[t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}\] \[t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 48}}{8}\] \[t = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{8}\] \[t = \frac{4 \pm 4i\sqrt{2}}{8}\] \[t = \frac{1 \pm i\sqrt{2}}{2}\]

Теперь заметим, что \(\cos x = t\). Мнимая часть \(i\) указывает на то, что угол \(x\) является комплексным, что в контексте обычных углов не имеет смысла. Таким образом, это уравнение не имеет действительных корней для угла \(x\).

Уравнение 2: \[\sqrt{3}\sin^2x + \sin x + \cos x = 0\]

Это уравнение не является квадратным, но мы можем использовать тот факт, что \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\) для переписывания его в более простой форме:

\[\sqrt{3}(1 - \cos^2x) + \sin x + \cos x = 0\] \[\sqrt{3} - \sqrt{3}\cos^2x + \sin x + \cos x = 0\] \[\sqrt{3}\cos^2x - \sin x - \cos x = \sqrt{3}\]

Это уравнение, скорее всего, не может быть решено аналитически, используя стандартные методы. Мы можем попытаться решить его численно или графически.

Уравнение 3: \[3\cot^2\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3}\right) - 2\tan\left(\frac{x}{3}\right) = 1\]

Заметим, что \(\cot\) и \(\tan\) связаны как \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\). Подставим это в уравнение:

\[3\left(\frac{1}{\tan^2\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{3}\right)}\right) - 2\tan\left(\frac{x}{3}\right) = 1\]

Сделаем замену переменной: \(u = \frac{x}{3}\). Тогда:

\[3\left(\frac{1}{\tan^2\left(\frac{3\pi}{2} + u\right)}\right) - 2\tan u = 1\]

Теперь у нас есть уравнение относительно \(u\), которое также может быть сложным для аналитического решения. Оно может потребовать численных методов для решения.

Уравнение 4: \[\sin x \cos x - 5\sin^2x = -3\]

Это уравнение может быть переписано с использованием тригонометрических тождеств:

\[\frac{1}{2}\sin 2x - 5\sin^2x = -3\]

Теперь заметим, что \(2\sin^2x = 1 - \cos 2x\) (с использованием тригонометрической формулы \(\sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\)). Подставим это:

\[\frac{1}{2}\sin 2x - 5\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) = -3\] \[\sin 2x - 5 + 5\cos 2x = -6\] \[\sin 2x + 5\cos 2x = -1\]

Это уравнение тоже не решается в явной форме и может потребовать численных методов для нахождения его корней.