Question

Найдите, пожалуйста, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2 - 6x + 8, прямыми x=-2, x=-1 и осью абсцисс

Answer 1

S=int I₋₂⁻¹(0-x²+6x-8)dx=-x³/3+3x²-8x I₋₂⁻¹=1/3+3+8-8/3-12+16=2и2/3.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 8, прямыми x = -2, x = -1 и осью абсцисс, мы можем разделить эту фигуру на несколько частей и вычислить площадь каждой части отдельно.

Нахождение площади под графиком функции

Сначала найдем площадь под графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 8 на интервале [-2, -1]. Для этого мы можем вычислить интеграл от функции f(x) на этом интервале:

∫[a, b] f(x) dx

В данном случае, a = -2 и b = -1. Вычислим интеграл:

∫[-2, -1] (x^2 - 6x + 8) dx

Для нахождения интеграла данной функции, мы можем использовать правило интегрирования для каждого из слагаемых:

∫(x^2 - 6x + 8) dx = ∫x^2 dx - ∫6x dx + ∫8 dx

Вычислим каждый из интегралов:

∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C1

∫6x dx = 3x^2 + C2

∫8 dx = 8x + C3

Где C1, C2 и C3 - произвольные константы интегрирования.

Теперь, найдем значение интеграла на интервале [-2, -1]:

∫[-2, -1] (x^2 - 6x + 8) dx = [(1/3)x^3 + C1]_(-2,-1) - [3x^2 + C2]_(-2,-1) + [8x + C3]_(-2,-1)

Подставим значения интервала в каждое слагаемое:

[(1/3)(-1)^3 + C1] - [(1/3)(-2)^3 + C1] - [3(-1)^2 + C2] + [3(-2)^2 + C2] + [8(-1) + C3] - [8(-2) + C3]

Упростим выражение:

(1/3 - 8/3 + C1) - (-8/3 + C1) - (3 + C2) + (12 + C2) + (-8 + C3) - (-16 + C3)

Сократим подобные слагаемые:

(-6/3 + C1) + (9 + C2) - (-16 + C3)

(-2 + C1) + (9 + C2) + (8 - C3)

-2 + C1 + 9 + C2 + 8 - C3

15 + C1 + C2 - C3

Таким образом, площадь под графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 8 на интервале [-2, -1] равна 15 + C1 + C2 - C3.

Нахождение площади треугольника

Теперь рассмотрим треугольник, ограниченный прямыми x = -2, x = -1 и осью абсцисс. Для нахождения его площади, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

S = (1/2) * base * height

В данном случае, ось абсцисс будет основанием треугольника, а высота будет равна расстоянию между прямыми x = -1 и x = -2, которое равно 1. Подставим значения в формулу:

S = (1/2) * 1 * 1 = 1/2

Таким образом, площадь треугольника равна 1/2.

Общая площадь фигуры

Чтобы найти общую площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 8, прямыми x = -2, x = -1 и осью абсцисс, мы должны сложить площадь под графиком функции и площадь треугольника.

Общая площадь = площадь под графиком + площадь треугольника

Общая площадь = (15 + C1 + C2 - C3) + (1/2)

Поскольку C1, C2 и C3 - произвольные константы интегрирования, их значения будут сокращаться при сложении и вычитании. Таким образом, общая площадь фигуры равна 15 + 1/2, что составляет 15.5.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 - 6x + 8, прямыми x = -2, x = -1 и осью абсцисс, равна 15.5.