Question

Найти производную f(x) =ctg^2x-cos2x

Answer 1

f'(x)=2ctgx*(-1/sin²x)+2sin(2x)=-2cosx/sin³x+2sin(2x)

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции f(x) = ctg^2(x) - cos(2x), мы можем использовать правила дифференцирования элементарных функций. Давайте посмотрим на каждую часть функции и найдем их производные по отдельности.

Производная ctg^2(x)

Для нахождения производной функции ctg^2(x), мы можем использовать правило дифференцирования обратной тригонометрической функции. Обратная функция к тангенсу - это арктангенс (или tan^(-1)(x)). Для удобства, давайте перепишем функцию ctg^2(x) в терминах тангенса:

ctg^2(x) = (1 / tan(x))^2 = 1 / tan^2(x)

Теперь мы можем найти производную функции 1 / tan^2(x) по x. Для этого мы можем использовать правило дифференцирования для дробных функций:

d/dx (1 / tan^2(x)) = -2 * (1 / tan^2(x)) * d/dx(tan(x))

Теперь нам нужно найти производную функции tan(x). Производная тангенса равна секансу в квадрате (sec^2(x)). Таким образом, мы можем заменить производную тангенса в нашем выражении:

d/dx (1 / tan^2(x)) = -2 * (1 / tan^2(x)) * sec^2(x)

Производная cos(2x)

Для нахождения производной функции cos(2x), мы можем использовать правило дифференцирования для тригонометрических функций. Производная косинуса равна минус синусу (sin(2x)). Таким образом, мы можем записать производную cos(2x) следующим образом:

d/dx (cos(2x)) = -sin(2x)

Найденные производные

Теперь, имея производные от каждой части функции f(x), мы можем записать полную производную функции f(x) = ctg^2(x) - cos(2x):

f'(x) = d/dx (ctg^2(x) - cos(2x)) = -2 * (1 / tan^2(x)) * sec^2(x) - sin(2x)

Таким образом, производная функции f(x) равна -2 * (1 / tan^2(x)) * sec^2(x) - sin(2x).