Question

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ 1)корень из (1-cosx)=sinx 2)1+cos4x =cos2x

Answer 1

1
ОДЗ
sinx≥0⇒x∈[2πn;π+2πn,n∈z]
1-cosx=sin²x
(1-cosx)-(1-cosx)(1+cosx)=0
(1-cosx)(1-1-cosx)=0
1-cosx=0
cosx=1
x=2πn,n∈z
cosx=0
x=π/2+πn,n∈z
2
1+сos4x=cos2x
2cos²2x-cos2x=0
cos2x(2cos2x-1)=0
cos2x=0⇒2x=π/2+πn⇒x=π/4+πn/2,n∈z
cos2x=1/2⇒2x=+-π/3+2πk⇒x=+-π/6+πk,k∈z

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и найдем их решения.

Уравнение 1: корень из (1-cosx) = sinx + 2

Для начала, возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(1 - cosx) = (sinx + 2)^2

Раскроем квадрат справа:

1 - cosx = sinx^2 + 4sinx + 4

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

sinx^2 + 4sinx + 4 - cosx - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для его решения можно воспользоваться различными методами, но в данном случае давайте воспользуемся методом подстановки.

Попробуем подставить различные значения для sinx и cosx и проверим, при каких значениях уравнение будет выполняться.

Пусть sinx = a и cosx = b:

a^2 + 4a + 4 - b - 1 = 0

Упростим это уравнение:

a^2 + 4a + 3 - b = 0

Теперь рассмотрим несколько случаев:

1. Пусть a = 0:

0^2 + 4 * 0 + 3 - b = 0 3 - b = 0 b = 3

Таким образом, при sinx = 0 и cosx = 3 уравнение выполняется.

2. Пусть a = -1:

(-1)^2 + 4 * (-1) + 3 - b = 0 1 - 4 + 3 - b = 0 0 - b = 0 b = 0

Таким образом, при sinx = -1 и cosx = 0 уравнение также выполняется.

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 0 и x = pi.

Уравнение 2: 1 + cos(4x) = cos(2x)

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Используя формулу двойного угла для косинуса, получим:

1 + cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1

Теперь заменим cos(2x) в уравнении:

2cos^2(2x) - 1 = cos(2x)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

2cos^2(2x) - cos(2x) - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(2x). Давайте обозначим cos(2x) как t и решим это уравнение:

2t^2 - t - 1 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два значения для t: t = -0.5 и t = 1.

Теперь вернемся к исходному уравнению и заменим t обратно на cos(2x):

cos(2x) = -0.5 и cos(2x) = 1

Для первого уравнения, найдем углы, чей косинус равен -0.5. Эти углы равны 2pi/3 и 4pi/3.

Для второго уравнения, найдем углы, чей косинус равен 1. Эти углы равны 0 и 2pi.

Таким образом, уравнение имеет четыре решения: x = pi/3, x = 2pi/3, x = pi и x = 2pi.

Подводя итог, уравнение (1) имеет два решения: x = 0 и x = pi. Уравнение (2) имеет четыре решения: x = pi/3, x = 2pi/3, x = pi и x = 2pi.