Question

Найдите все значения а, при которых квадратное уравнение ах²+2(а+1)х+а+3=0 имеет один корень Пожалуйста

Answer 1

$ax^{2}+2(a+1)x+a+3=0\\ D=4(a+1)^{2}-4*a*(a+3)$

Чтобы корень был один, дискриминант должен быть равен нулю, поэтому приравниваем это к нулю (заодно делим на 4, чтобы меньше вычислений было).

$(a+1)^{2}-a(a+3)=0\\ a^{2}+2a+1-a^{2}-3a=0\\ -a+1=0\\ a=1$

Ответ: при а=1.

Answer 2

Чтобы квадратное уравнение имело один корень, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае у нас есть уравнение \(ax^2 + 2(a + 1)x + a + 3 = 0\). Соответственно, \(a = a\), \(b = 2(a + 1)\), и \(c = a + 3\).

Теперь подставим эти значения в формулу дискриминанта и приравняем его к нулю:

\[D = (2(a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot (a + 3)\]

Упростим выражение:

\[D = 4(a^2 + 2a + 1) - 4(a^2 + 3a)\]

\[D = 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 - 12a\]

\[D = -4a^2 - 4a + 4\]

Теперь приравняем \(D\) к нулю и решим получившееся уравнение:

\[-4a^2 - 4a + 4 = 0\]

Для удобства, разделим обе стороны уравнения на -4:

\[a^2 + a - 1 = 0\]

Теперь мы можем воспользоваться квадратным уравнением для нахождения корней:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

где \(D\) - дискриминант. В данном случае \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -1\), так что:

\[a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, уравнение \(ax^2 + 2(a + 1)x + a + 3 = 0\) имеет один корень при значениях \(a\), равных \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) или \(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\).