Question

Решите уравнение 12^sinx= 3^sinx ·4^cosxНайдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]

Answer 1

Поделим левую и правую части уравнения уравнения на $3^{\sin x}$, получим

$4^{\sin x}=4^{\cos x}\\ \sin x=\cos x~|:\cos x\ne 0\\ tgx=1\\ x=\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

Отбор корней, принадлежащих отрезку [2π; 7π/2]

Если n=2, то $x=\frac{\pi}{4}+2\pi =\frac{9\pi}{4}$

Если n=3, то $x=\frac{\pi}{4}+3\pi =\frac{13\pi}{4}$

Answer 2

Давайте решим уравнение \(12^{\sin x} = 3^{\sin x} \cdot 4^{\cos x}\).

1. Заменим \(4\) на \(2^2\), чтобы привести всё к более удобному виду: \[12^{\sin x} = 3^{\sin x} \cdot 2^{2\cos x}\]

2. Перепишем \(12\) как произведение \(3 \cdot 2^2\): \[(3 \cdot 2^2)^{\sin x} = 3^{\sin x} \cdot 2^{2\cos x}\]

3. Упростим выражение: \[3^{\sin x} \cdot 2^{2\sin x} = 3^{\sin x} \cdot 2^{2\cos x}\]

4. Сократим обе стороны на \(3^{\sin x}\): \[2^{2\sin x} = 2^{2\cos x}\]

5. Теперь у нас есть равенство степеней с одинаковым основанием \(2\), следовательно, степени сами равны: \[2\sin x = 2\cos x\]

6. Разделим обе стороны на \(2\): \[\sin x = \cos x\]

7. Используем тригонометрическое тождество \(\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})\), где \(\theta\) - угол: \[\sin x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\]

8. Это уравнение имеет решения в виде: \[x = n\pi + \left(-1\right)^n \cdot \frac{\pi}{2}\], где \(n\) - целое число.

9. Теперь ограничимся отрезком \([2\pi, \frac{7\pi}{2}]\). Посмотрим, какие из корней удовлетворяют этому условию: \[2\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{2}\]

Подставим \(n = 2\) и \(n = 3\), так как \(n = 0\) и \(n = 1\) не соответствуют заданному отрезку: \[x_1 = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}\] \[x_2 = 3\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}\]

Таким образом, уравнение \(12^{\sin x} = 3^{\sin x} \cdot 4^{\cos x}\) имеет два корня на отрезке \([2\pi, \frac{7\pi}{2}]\): \(x = \frac{5\pi}{2}\) и \(x = \frac{7\pi}{2}\).