Question

В арифметической прогрессии an найдите разность прогрессии ,если а5=17,S10=190

Answer 1

Дано: $S_{10}=190;\,\,\, a_5=17$
Найти: $d$

Решение:

Выпишем формулы для $n$ :
$\left[\begin{array}{ccc}a_m=a_1+(m-1)d\\ S_n= \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} \end{array}\right$

Выразим разность арифметической прогрессии:
$a_1=a_n-(n-1)d$
$S_n= \dfrac{n(a_m-(n-1)d+a_n)}{2} \\ \\ \\ d= \dfrac{2}{2m-n-1} \cdot\left(a_m- \dfrac{S_n}{n} \right)=\dfrac{2}{-1} \cdot\left(a_5- \dfrac{S_{10}}{10} \right)=4$

Ответ: $4.$

Answer 2

Для нахождения разности арифметической прогрессии (разности прогрессии) требуется использовать информацию о значениях элементов этой прогрессии.

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем прибавления к предыдущему элементу одного и того же постоянного числа, называемого разностью прогрессии (d).

Общий член арифметической прогрессии можно представить формулой: \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\),

где: \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - порядковый номер элемента в прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

У нас есть две информации: \(a_5 = 17\) (пятый член прогрессии равен 17) \(S_{10} = 190\) (сумма первых десяти членов прогрессии равна 190)

Так как \(a_5 = a_1 + 4d = 17\), а \(S_{10}\) - сумма десяти членов арифметической прогрессии, то формула для суммы первых \(n\) членов прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\).

Используем информацию о сумме первых десяти членов прогрессии: \(S_{10} = 190\). Так как у нас есть информация только о \(a_5\), нам следует выразить \(a_{10}\) через \(a_5\) и разность прогрессии \(d\), зная, что \(a_{10} = a_5 + 5d\).

Теперь можно выразить сумму первых десяти членов прогрессии через первый и десятый члены, используя формулу для суммы: \(S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (a_1 + a_{10}) = 5 \cdot (a_1 + a_5 + 5d)\).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \(a_1 + 4d = 17\) (по информации о \(a_5\)). 2. \(5 \cdot (a_1 + a_5 + 5d) = 190\) (по информации о сумме первых десяти членов).

Решив эту систему уравнений, можно найти значения для \(a_1\) и \(d\), а затем найти разность прогрессии \(d\).