Question

ABC — правильный треугольник, а О —точка пересечения высот. Докажите, что ОА + ОВ+ОС =0

Answer 1

Так как АВС правильный треугольник, то точка О не только точка пересечения высот, но и точка пересечения медиан (по свойству медианы-биссектрисы-высоты равнобедренного треугольника).

Далее как известно медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1,
Пусть АМ, ВК, СН - медианы

тогда (векторы!!!) ОА+ОВ+ОС=-2/3(AM+BK+CH)=
используем свойство вектора медианы
-2/3 * ( 1/2(AB+AC) + 1/2(BA+BC)+ 1/2(CA+ CB))=-2/3*1/2*(AB+BA+AC+CA+BC+CB)=-2/3*1/2* 0=0, что и требовалось доказать
Доказано

Answer 2

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) точка \( O \) представляет собой точку пересечения высот. Высоты треугольника \( ABC \) пересекаются в одной точке, и эта точка называется ортоцентром.

Чтобы доказать, что \( OA + OB + OC = 0 \), давайте рассмотрим векторную форму записи для векторов. Пусть \( \vec{OA} \), \( \vec{OB} \) и \( \vec{OC} \) будут векторами, соответствующими отрезкам от точки \( O \) до вершин треугольника \( ABC \).

Сумма векторов \( \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} \) равна нулевому вектору, так как векторы, идущие из точки \( O \) и концентрирующиеся на вершинах треугольника \( ABC \), образуют замкнутую фигуру, что является свойством ортоцентра.

Математически это выглядит следующим образом:

\[ \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0} \]

Таким образом, \( OA + OB + OC = 0 \) в векторной форме, что подтверждает утверждение о том, что сумма расстояний от точки пересечения высот до вершин треугольника равна нулю.