Question

При каких значениях а уравнение (а-3)х^2-4х-2а=0 имеет действительные корни разных знаков?

Answer 1

Решение во вложении, надеюсь видно. 

Answer 2

Чтобы определить при каких значениях параметра "а" у уравнения \( (a-3)x^2 - 4x - 2a = 0 \) есть действительные корни разных знаков, давайте воспользуемся дискриминантом квадратного уравнения.

У квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( \Delta \) вычисляется по формуле \( \Delta = b^2 - 4ac \).

В данном уравнении \( (a-3)x^2 - 4x - 2a = 0 \), коэффициенты следующие:

- \( a = (a - 3) \) - \( b = -4 \) - \( c = -2a \)

Теперь, подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot (a - 3) \cdot (-2a) \]

Раскрываем скобки:

\[ \Delta = 16 + 8a(a - 3) \]

\[ \Delta = 16 + 8a^2 - 24a \]

Теперь, условие для того, чтобы у уравнения были действительные корни разных знаков, заключается в том, чтобы дискриминант был положительным числом.

\[ \Delta > 0 \]

\[ 16 + 8a^2 - 24a > 0 \]

Упрощаем неравенство:

\[ 8a^2 - 24a + 16 > 0 \]

\[ a^2 - 3a + 2 > 0 \]

Теперь решим это квадратное неравенство. Факторизуем его:

\[ (a - 2)(a - 1) > 0 \]

Так как знаки неравенства могут быть только \( > \) или \( < \), мы имеем два интервала, где это неравенство выполняется:

1. \( a < 1 \) 2. \( a > 2 \)

Таким образом, уравнение \( (a-3)x^2 - 4x - 2a = 0 \) имеет действительные корни разных знаков при \( a < 1 \) или \( a > 2 \).