Question

Решите систему уравнений |x-3|+|y-2|=3 y+|x-3|=5

Answer 1

Y+|x-3|=5
|x-3|=5-y
5-y+|y-2|=3
1)y<2
5-y-y+2=3
2y=7-3
2y=4
y=2
2)y≥2
5-y+y-2=3
0=0
y∈[2;∞)
|x-3|+y-2=3
|x-3|-5-y
x<3
x-3=y-5
x=y-2
x∈[0;3)
x≥3
x-3=5-y
x=8-y
x∈[3;6]
Ответ x∈[0;6] U y∈[2;∞)

Answer 2

Для решения системы уравнений, воспользуемся свойствами модуля.

1) Рассмотрим первое уравнение: |x-3| + |y-2| = 3+y.

Мы знаем, что модуль выражения всегда неотрицателен, поэтому можем записать два возможных варианта для каждого модуля:

a) x-3 ≥ 0, y-2 ≥ 0 Тогда уравнение принимает вид: (x-3) + (y-2) = 3+y Упростим уравнение: x-3+y-2 = 3+y x+y-5 = 3+y x = 8

b) x-3 < 0, y-2 < 0 Тогда уравнение принимает вид: -(x-3) - (y-2) = 3+y Упростим уравнение: -x+3-y+2 = 3+y -x-y+5 = 3+y -x = -y-2

2) Рассмотрим второе уравнение: |x-3| = 5.

Из свойств модуля, мы знаем, что модуль равен некоторому числу, если само выражение может быть равным этому числу или его противоположности.

a) x-3 ≥ 0 Тогда уравнение принимает вид: x-3 = 5 x = 8

b) x-3 < 0 Тогда уравнение принимает вид: -(x-3) = 5 -x+3 = 5 -x = 2 x = -2

Таким образом, мы получили два значения для x: x = 8 и x = -2.

Теперь подставим найденные значения x в первое уравнение:

a) x = 8 Из уравнения x+y-5 = 3+y, получаем: 8+y-5 = 3+y y = 0

b) x = -2 Из уравнения -x-y+5 = 3+y, получаем: -(-2)-y+5 = 3+y 2-y+5 = 3+y 7-y = 3+y 2y = 4 y = 2

Таким образом, получаем два решения системы уравнений: (x, y) = (8, 0) и (x, y) = (-2, 2).