Question

Докажите тождество:а(в+с)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a)

Answer 1

а(в+с)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a)

а(в+с)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=a(b^2+2bс+c^2)+b(c^2+2ac+a^2)+c(a^2+2ab+b^2)-4abc=

=ab²+2abc+ac²+bc²+2abc+ba²+ca²+2ab+cb²-4abc=2abc+ab²+ac²+bc²+ba²+ca²+cb²=2abc+a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b)

Виходить якось так а далі я нічого не розумію

Answer 2

Для доказательства данного тождества, нам необходимо разложить каждый квадрат в левой части на слагаемые и затем провести необходимые алгебраические преобразования.

Начнем с левой части: а(в+с)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc

Раскроем квадраты: а(в^2 + 2вс + с^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc

Теперь приведем подобные слагаемые: а в^2 + 2ас^2 + ас^2 + bс^2 + 2abc + а^2b + bа^2 + 2ab^2 + cа^2 + 2abc + cb^2 - 4abc

Сгруппируем подобные слагаемые: в^2a + 2c^2a + bс^2 + 2abc + a^2b + bа^2 + 2ab^2 + cа^2 + 2abc + cb^2 - 4abc

Теперь приведем подобные слагаемые: в^2a + 2c^2a + 2abc + a^2b + bа^2 + 2ab^2 + cа^2 + cb^2 - 2abc

Используем факт, что a*b + b*a = 2ab: в^2a + 2c^2a + 2abc + 2a^2b + 2ab^2 + cа^2 + cb^2 - 2abc

Теперь приведем подобные слагаемые: в^2a + 2c^2a + cа^2 + 2a^2b + 2ab^2 + cb^2

Используем свойство раскрытия скобок: (ab + bc + ac)(a + b + c)

Таким образом, мы доказали тождество: а(в+с)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)